222 GIUSEPPE PEANO 
continua, passante per l'origine, e poichè lim di 0, avente 
x=0 XL 
ivi per tangente l’asse delle x. Considerando un altro punto qua- 
dy ì 1 I ‘ 
— —y = 2xsen—-— cos —, eil 
da x Vy 
lunque di ascissa x, si avrà 
punto d’incontro della tangente ivi colla tangente all’origine avrà 
per ascissa 
3 1 
X° sen — 
aA- a3Td% 
Y 1 Tx 
Zx sen— — cos — 
XL XL 
i San Y 
e per ordinata 0. Facendo tendere x verso 0, l’ascissa @ — +, 
Y 
non tende ad alcun limite, ma ha per estremi oscillatorii — co 
e + co, Quindi il punto d’incontro della tangente in P colla 
tangente in O non tende alcun limite; ma preso ad arbitrio un 
punto A sull’asse delle x, in ogni arco di curva, arbitraria- 
mente piccolo, avente un estremo in 0, ci saranno sempre dei 
punti in cui la tangente viene a passare per A. In questa curva, 
y', col tendere di x a zero, non tende ad alcun limite, ma ha 
per estremi oscillatorii — 1 e +1; quindi la tangente in P non 
tende ad alcun limite col tendere di P verso 0. 
Nell'esempio precedente la curva è incontrata dall’asse delle 
x in infiniti punti nelle vicinanze dell'origine. La curva 
xi (e di 
y=% + sen 
IO) 
è incontrata da ogni retta in un numero finito di punti; ed ha 
le stesse proprietà della precedente. 
Si possono dare delle curve per cui col tendere di P'a P, 
la tangente #' abbia per limite #, senzachè il punto ##' tenda 
ad alcun limite. Sia la curva: 
y=a}sen- 
x 
Essa passa per l'origine, ed ha ivi per tangente l’asse delle x. 
1 
x cos-, elim y =0: onde la tangente 
Ha 
De atei 1) 
Si ha y' — 3«? sen 
Ha 
