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denze birazionali fra due spazi. Che lo studio delle involuzioni piane 
nel senso più generale, cioè dei raggruppamenti dei punti del 
piano in gruppi di y., tali che ogni punto del piano stia in un 
sol gruppo, si può far dipendere in infiniti modi (ad esempio 
ricorrendo ad una superficie sui cui punti si rappresentino 
univocamente i gruppi dell’involuzione) da quello di particolari 
sistemi lineari di curve piane, tali che tutte le curve passanti 
per un punto qualunque del piano passino in conseguenza per i 
p.—1 associati. Ecc., ecc. 
Quando di una varietà algebrica si studiano quelle proprietà 
che non mutano trasformando birazionalmente la varietà stessa, 
si fa quella che ora si suol chiamare la geometria sulla varietà. 
La geometria sulla retta (punteggiata) coincide con la geometria 
projettiva della retta stessa: non così la geometria su una curva 
qualunque di genere p, nè la geometria sul piano. Quelle pro- 
prietà dei sistemi lineari di curve piane che sono invariabili per 
trasformazioni Cremoniane appartengono appunto alla geometria 
sul piano. Esse serviranno d’introduzione allo studio delle serze 
lineari di curve sopra una superficie qualunque fatto nel senso 
della geometria su una superficie: studio che non è ancora avviato. 
Ora allorquando i sistemi lineari di curve piane vengono stu- 
diati secondo quest’indirizzo, si ha nelle trasformazioni birazionali 
del piano uno strumento per semplificarli: e considerando come 
equivalenti quei sistemi che così si posson trasformare gli uni 
negli altri, nasce la questione di ridurre tutti i sistemi a dati 
tipi. Appunto di essa, per i sistemi di un dato genere p, si sono 
occupati alcuni fra gli scienziati italiani ricordati. Ma il CastEL- 
Nuovo in questa Memoria si pone problemi di un’altra natura; 
e si basa sopra un concetto che, per quanto spontaneo possa 
sembrare, non era ancora stato applicato in queste ricerche con 
quell’ampiezza che era necessaria per rivelarne tutta la fecondità. 
Vogliam dire l’uso della geometria sulla curva, ed in particolare 
delle serie lineari di gruppi di punti sopra la curva, delle curve 
aggiunte di questa, ecc.: di quelle nozioni insomma che, intro- 
dotte nella scienza da RIEMANN, CLEBSCH ed altri, hanno poi tro- 
vato in un notissimo lavoro di BRILL e NéòrHER il loro assetto 
definitivo. Era ben naturale che queste cose dovessero aiutare gran- 
demente le ricerche sui sistemi lineari di curve piane. Il CAstTEL- 
NUOVO, che già aveva dimostrato, in alcuni scritti accolti dalla 
nostra Accademia nei suoi Atti, di possedere a fondo quelle pro- 
