POSTULATI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA 507 
di forme geometriche, non ho creduto opportuno di seguire la 
via tracciata dal PaAscH; sia perchè il segmento è il meno che si 
sappia ideare quando si voglia passare dal concetto ordinario di 
retta a quello più generale di un fascio di varietà qualsiansi , 
ma più perchè il segmento in un fascio non è individuato dai 
due suoi estremi; invece ho posto a base del mio sistema di 
postulati il concetto fondamentale della linea retta (1). 
Il presente lavoro è diviso in tre paragrafi. Nel primo si tratta 
della generazione degli spazii e delle loro principali proprietà, e 
in esso si mostra che necessitano +2 postulati per pervenire a 
generare uno spazio ad » dimensioni: si tenga però presente che 
di questi, solo due sono sostanzialmente diversi dai rimanenti e 
sono il postulato della retta e quello del piano, gli altri r sono 
identici nella forma e si potrebbero, volendo, ridurre ad un solo. 
Nel secondo paragrafo stabilisco in modo diretto la corrispon- 
denza univoca fra i punti di una retta (0 elementi di un fascio 
qualunque di varietà) e la variabile numerica: per questo si 
ha bisogno di altri tre postulati; l’ uno riguarda la forma della 
retta; l’altro corrisponde al postulato di Archimede; il terzo 
è il postulato della continuità. Nel terzo paragrafo parlo del 
birapporto e della proiettività, accenno alla variabile immagi- 
naria; e stabilisco la equazione di un S,_; dello S, (2). 
Qualora si voglia passare dalla geometria proiettiva a una 
delle geometrie metriche, iperbolica, parabolica, o ellittica, ai 
postulati qui enunciati basterà aggiungere un postulato riguar- 
dante l’ente all’infinito e limitarsi alle trasformazioni proiettive 
che trasformano questo ente in se stesso. 
(1) Avevo già terminato questo lavoro, quando dal chiar. prof. VERONESE 
(che nel passato aveva nelle sue lezioni seguito i concetti del Pascu) mi fu 
comunicato a voce che egli nella sua opera sui fondamenti della geometria 
(in corso di stampa) nemmanco ha creduto più opportuno di poggiarsi sul 
concetto di segmento, 
(2) Tengo ad avvertire che il numero dei postulati è rappresentato da 7-+-5 
per gli spazii di dimensione r=3, e invece per )' S, e per l’ .S, sono gli 
stessi che per l’S,; poichè per completare la geometria proiettiva della retta 
e del piano con questi postulati, a causa del teorema che tre elementi di una 
forma semplice, considerati in-un certo ordine, individuano il quarto armo- 
nico v. n, 14), bisogna ammettere l’esistenza dell’ Sì. 
