POSTULATI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA 517 
quello supposto. Se il punto a per passare da a in Db deve 
coincidere con @ o con d, anche il raggio 0a per passare da oa 
in ob deve coincidere o con 0€ 0 con od; quindi, come quattro 
punti si separano sulla retta, così i quattro raggi che proiettano 
quella punteggiata da 0 si separano nel fascio. E analogamente, 
se si sega il fascio con un’altra retta del piano che non passa 
per © i quattro raggi saranno segati in punti a',b',e'.d' che si 
separano allo stesso modo. Estendendo questo concetto a qua- 
lunque altro fascio di S,,, che si ottenga per proiezione dalla 
retta, si ha che la separazione delle coppie è proprietà che non 
si altera per qualunque operazione proiettiva (insieme di proiezioni 
e sezioni). 
14. — Quattro punti a, b, e, d di una retta disposti nell'ordine 
considerato si dicono armonici, se in un piano che passa per la 
retta si possa costruire un quadrangolo completo di cui due lati 
opposti passino per a, due altri lati opposti passino per Db, uno 
per € e l’altro per d. 
Dati tre punti a,b, ec, considerati nell'ordine in cui sono 
scritti, si può sempre trovare un altro punto d tale che il 
gruppo abed sia armonico, e questo punto è unico. La dimo- 
strazione di questo teorema si può condurre come nello .Staud# 
(Geometrie der Lage, tradotta in italiano da M. Pieri, 1889), 
astraendo come qui facciamo dal concetto di parallelismo. 
Se abed sono quattro punti armonici di una retta, la cop- 
pia ab è separata necessariamente dalla coppia ed. Infatti la 
tetrade armonica abed è proiezione in due modi diversi di una 
medesima fetrade armonica a'b'e'd, e quindi se ae separasse bd, 
ovvero ad separasse be, si calrebbe nell’assurdo che quattro punti 
di una retta si potrebbero separare in due modi diversi. Diremo, 
come al solito, elementi coniugati gli elementi di ciascuna coppia. 
Se di quattro punti armonici di una retta due cormcidono, 
uno degli altri due deve coincidere con essi. 
Diremo prozettive fra loro due forme semplici quando sono 
riferite fra loro in modo tale che ad ogni forma armonica 
nell’una corrisponde una forma armonica nell’altra. 
15. — Assegniamo sulla retta tre punti arbitrari a, b,, d,, 
e costruiamo i gruppi armonici ab,b,b,, ab,b,b,, ab.b.b,..., 
ab,b,_,b,.:..-; il punto b, sarà separato da h, mediante ab, 
