518 FEDERICO AMODEO 
e si trova quindi fuori del segmento ab,b,; il punto b, è sepa- 
rato da b,, mediante ab,, e si trova fuori di ab,b,, ecc., ecc. 
In tal modo avremo assegnate sulla retta le posizioni di un nu- 
mero illimitato di punti b,b,b... b,_,b,b,,..., che si succedono l’uno 
all’altro in modo che ciascuno, p. es. b,,, è esterno al segmento 
ab,b, che contiene i precedenti; e intanto tutti devono essere 
contenuti nel segmento b,b,2, e di essi nessuno potrà coincidere 
con a. Ma si potrebbe dubitare che la serie di punti possa esser 
contenuta in un segmento b,b, p compreso nel segmento b,b,&, 
quindi abbiam bisogno di ammettere che: 
Post. (r4-4)."° Se pè un punto del segmento h,b,a, as- 
segnato arbitrariamente fra b, ed a, fra i punti della serie 
b,b,...b, ve ne è sempre uno che è compreso fra p ed a, nel 
segmento bo pa, anche se il punto p non faccia parte della serie 
stessa (1). 
E quindi si deduce che fra p ed a vi è sempre un numero 
infinito di elementi della suddetta serie, e ciò esprimeremo con 
frase semplice dicendo che gli elementi di questa serie si avv 
cinano indefinitamente ad a nella direzione b,b,b,..., che chia- 
meremo direzione positiva della retta. 
Con i medesimi tre punti ab,b,, costruiamo i gruppi armonici 
abb b_; ab_,b;b,; ab_b,b,.- ab_,b_, 4 b_,_1, sarà il punto 
h_, esterno al segmento ab, b,; il punto b_, esterno al segmento 
ah,b_,, e quindi al segmento ab, b_,, e così di seguito; quindi i 
punti b_,b_,h_s...b_,b_,_,... si succedono l’uno all’altro sulla 
retta in modo che ciascuno, p. es. b_,_,, è esterno al segmento 
(1) È precisamente in questo postulato che si ripercuote la differenza fra 
il nostro metodo e quello del PascH. Lo stesso PascH, riferendosi al modo 
come egli ricava questa proposizione dal postulato di Archimede, dice (V. 1. 
c. p. 1426): Das Axiom, durch welches Herrn F. KLEIN die Lilcke in Sraupr’s 
Begrindung der Projectivitàt ausfiùllt, kommt auf den eben formulirten Satz 
hinaus. Diesen als Grundsatz anzunehmen, wilrde mit den hier festgehaltenen 
Anschauungen nicht in Einklang stehen. Diesen abgesehen davon, dass eine 
Beobachtung sich ùberhaupt nicht auf unendlich viele Dinge beziehen kann, 
ist die Aufstellung jenes Satzes von unserem Standpunkte aus auch deshalb 
noch nicht zulàssig, weil wir(vgl. seite18)in einer Strecke nicht unendlich viele 
Punkte annehmen ditrfen, ohne dem Sinne des Wortes Punkt eine weitere als 
die bisherige Ausdehnung zu geben und uns mithin von seiner ursprunglichen 
Bedeutung noch mehr zu entfernen. Eine solche Ausdehnung wird erforder- 
lich, wenn man die Punkte der Geraden in vollstindige Analogie mit den 
Gliedern der aus den rationalen und irrationalen reellen Zahlen bestehenden 
Reihe bringen will; ... 
