. POSTULATI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA 521 
Sia Impq il quadrangolo costruttore del gruppo armonico 
ab b,b,, e siano cioè Im, pq i lati che passano per a, pm quello 
che passa per b,. Ip, mq quelli che passano per b,, 1q quello 
che passa per b,. Se, rimanendo fissi i lati che passano per a, 
conduciamo per b, la trasversale h,q, che seghi Im in n, e 
chiamiamo r l’intersezione di nb, e pq, sarà mnqr un qua- 
drangolo costruttore dello stesso gruppo, e quindi mr passerà 
per b.. Se si assume Imqr per quadrangolo costruttore del 
gruppo armonico ab,b b,, si trova che Ir passa per b,; e se 
chiamiamo s l’intersezione di h,n e pq ed assumiamo mnrs 
per quadrangolo costruttore del gruppo ab,b b.,, si trova che ms 
passa per b,; infine assumendo lmrs per quadrangolo costruttore 
del gruppo ab,b,b,, si trova che Is passa per h,. Considerando 
ora il quadrangolo lqsn, si trova che esso è quadrangolo co- 
struttore del gruppo ab,b,b,., dunque questo gruppo è armo- 
nico (1). 
Con ciò resta pure dimostrato che : 
Se tre punti b,,b,,b, della serie costruita, sono tali che 
la somma degli indici dei due punti estremi è eguale al dop- 
pio dell'indice del punto medio, il gruppo ab,b,b, e armonico. 
Viceversa : se ab,b,b, è un gruppo armonico, deve essere 
X+p=2v. 
18. — Abbiam visto come, dati i punti ab,b,, si costruisce 
un punto qualsiasi di indice ), vogliamo ora vedere come si possa 
costruire il punto d,, quando si conoscano i punti di ab, b,. 
Pel punto b, si tiri una retta qualsiasi e sopra di essa si 
prendano due punti arbitrarii a', b',, e mediante i punti abb 
come terna fondamentale, si costruisca il punto b', di indice )., 
come nel n. 15. Sia quindi m il punto comune alle rette 
aa’. b,b,, la proiezione del punto b,' da m sulla retta data, sarà 
il punto cercato b,. 
Evidentemente il punto h, è unico; poichè ogni altra ana- 
loga costruzione può ricondursi per proiezione alla precedente. 
(1) Quantunque questa dimostrazione possa sembrare artifiziosa, è però 
molto più elementare di quelle riportate dal De PaoLis, e dal LinpEMANN 
nelie opere citate. Il De PaoLis per dimostrare questo teorema ricorre alle 
involuzioni, ed il LinDpEMANN per dimostrare il solo caso di a. —2, a cui si 
limita, ricorre ai sistemi piani prospettivi. 
