524 FEDERICO AMODEO 
Se si scambia, nella serie costruita mediante i punti fon- 
damentali ab,b,, il punto b, col punto a, e si rimane inalte- 
rato il punto b,, gli elementi della serie rimarranno gli stessi, 
ma ognuno acquisterà l'indice inverso di quello che aveva 
prima. 
20. —- In questa nuova serie b,ab, siano €,,€,,€, tre punti 
tali che fra i loro indici esista la relazione » + = 27 (gl’indici 
possono supporsi anche frazionarii), cioè siano €,, €, simmetrici 
rispetto al punto €,; il gruppo b,6,€,0, sarà (v. n. 17) armo- 
nico; e poichè i punti €,6,6, sono rispettivamente i punti 
bi bi bi della serie abb. si ha che pure il gruppo bo Db, Db b, 
» n n v 
è armonico ; e siccome la reciproca è vera, ed il trasporto della 
coppia 01 non altera le distanze fra il punto b, ed i punti della 
serie, possiamo enunciare il teorema : 
Se quattro punti b, bb, db, della serie ab,b, sono armo- 
c 
nici, fra i loro indici esiste la relazione MORRA ti: ARM Liar : 
Aud, cage 
e, viceversa, se fra gli indici di quattro punti della serte 
ab,b,. esiste la relazione suddetta, è quattro punti nell'ordine 
considerato sono armonici. 
21. — Finora abbiamo costruiti dei punti nella serie quando 
di essi conoscevamo l’indice intero o frazionario ; ora vogliamo 
esaminare la questione inversa : 
Dato sulla retta un punto p, ed assegnati i tre punti 
fondamentali ab,b,, vogliamo sapere quale indice ad esso cor - 
risponde. 
Se il punto dato p non coincide con nessuno dei punti di 
indice intero costruiti mediante i punti ab,b,, sia esso compreso 
nel segmento b,b,,,, allora supposta trasportata la coppia bb, 
(tenendo fisso il punto a) nella coppia b,b,,,, si divida il seg- 
mento di questa coppia in «, parti eguali; se il punto p coin- 
È, 
1 
dice nella serie data. Ma se p è compreso fra la {2," e la ((},4+1)"* 
divisione, si divida ancora questo segmento in 4, parti eguali ‘* 
LI Pi 
. . . . . x VI . 
se p coincide con la {8,"° divisione, sarà » + GIR Po il suo 
i %, La 
cide con la {},"° divisione del segmento sarà v+ il suo in- 
