e.————_r—r— up 0: — 
POSTULATI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA 020 
indice, altrimenti si proseguirà allo stesso modo l’operazione. Ciò 
facendo se una volta si raggiungerà la posizione del punto p, il 
punto avrà per suo indice un numero frazionario, e sarà uno 
dei punti della serie che si era costruita nel n. 18: ma se però 
non avverrà mai che si raggiunga la posizione del punto, avremo 
intanto segnati sulla retta una serie di punti che si vanno av- 
vicinando indefinitamente al punto stesso e quindi nella varia- 
bile numerica avremo corrispondentemente una serie di valori 
frazionarii che soddisfà alle condizioni che abbisognano per ayere 
un limite. In tal caso converremo di assegnare al punto p come 
indice il limite di quella serie di valori frazionarii. 
Però la ricerca dell’indice del punto p con questo metodo 
ha troppo dell’arbitrio nella scelta del numero delle parti in cui 
bisogna dividere il segmento sempre più piccolo in cui si va rac- 
chiudendo il punto p; in ciò si ha un inconveniente lieve che 
vogliamo evitare. Ci proponiamo di trovare l’indice del punto p 
sotto forma di frazione continua finita o infinita secondo che il 
punto p appartenga o non alla serie dei punti corrispondenti 
alla variabile frazionaria, cercando di costruire sulla retta una 
serie di punti nelle vicinanze del punto p che rappresentino le 
successive ridotte di queste frazioni continue. 
Supponiamo dapprima che il punto p sia un punto apparte- 
nente alla serie della variabile frazionaria, e sia esso compreso 
nel segmento b,b,,,; il suo indice incognito che noi rappresen- 
1 
c 
1 
teremo con z, possiamo porlo eguale a v + —, e con ciò 
di LI 
rappresenterà la distanza b,p riferita al segmento unità b,b, ed 
al punto infinito a. Se si trasporta la coppia D,b, in bjb,.,, 
Pei 
nella serie ah,b,,, il punto p avrà per indice — e se si scambia 
x 
1 
il punto a col punto D, e si lascia invariato il punto b,,,, nella 
serie b,ab,,, il punto p avrà per indice 2, (v. n. 19). Si co- 
struiscano i successivi quarti armonici di questa serie e siano 
€, €)... €,, € 1; e supponiamo che p sia compreso fra €,, e €,,441; 
1 er, i 
si potrà porre x, = +—, e quindi — indicherà la distanza 
La D 
- 
c, p rispetto al segmento unità ab,,, ed al punto infinito b,. 
: i Sgigtinsit 
Se si trasporta la coppia ab,,, in €, €,,41, SArà Fa l’indice del 
2 
