DA FEDERICO AMODEO 
punto p nella serie Be, €,_,, e quindi sarà x, l’indice di p 
nella serie e, b,e, ur Si costruiscano i quarti armonici successivi 
di questa serie e siano dadi: d,, d, 1, e supponiamo che p sia 
compreso fra d, d, L1 > si potrà porre il suo indice x,= + — 
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ecc., ecc. I punti b,, e, , d, , €, .., che si costruiscono successi- 
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vamente hanno per indici, nella serie ab,b,, rispettivamente i 
numeri 
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Con questa costruzione per l’ipotesi fatta, si deve raggiungere 
il punto p dopo un numero finito p. di tali operazioni, e quindi 
il punto p avrà per indice il valore della frazione continua 
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Ora questa stessa operazione geometrica (indipendentemente 
dal suo significato analitico) può farsi per un punto qualunque p 
della retta, anche non appartenente alla serie costruita degli 
indici razionali; in questo caso non si raggiungerà mai il punto p, 
ma i punti D,, C,, d, , e, ... alternandosi da una parte e dal- 
l’altra del punto p. si andranno indefinitamente [nota (1) a p. 21], 
avvicinando ad esso, e quindi il punto p resta come posizione 
limite della classe di punti b,e, d, ..., allo stesso modo come il 
valore irrazionale della ne infinita è il limite dei 
valori delle successive ridotte, onde possiamo assumere come in- 
dice del punto p il valore di questa frazione continua infinita. 
E quindi deduciamo: 
Ogni punto della retta, quando sopra di essa sono fissati 
i punti ab,b,, 0 è un punto della serie ab,b, ed allora il suo 
indice è un numero frazionario, 0 è un punto limite di una classe 
determinata di punti della serie abb, cd allora il suo indice è 
un numero irrazionale rappresentato univocamente da una fra- 
zione continua infinita coi numeratori eguali ad uno (1). 
(1) Abbiamo voluto insistere a cercare di mettere l’indice irrazionale sotto 
forma di frazione continua, oltre che per il vantaggio in se stesso di avere 
una forma unica sempre possibile a ricercare, anche per dare un? effettiva 
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