POSTULATI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA az 
22. — Viceversa, dato un numero irrazionale qualunque, vi 
è sulla retta un punto che lo rappresenta? 
Post. (r+5)."° Ad ogni numero irrazionale corrisponde 
sempre sulla retta un punto determinato ed unico; o in altre 
parole: dato un numero irrazionale, sia sotto forma di fra- 
zione continua infinita coi numeratori eguali ad uno, sia come 
limite di due classi di numeri convergenti, e costruiti sulla 
retta i punti della serie ab,b, corrispondenti alle successive 
ridotte della frazione continua, 0 ai numeri di quelle classi, 
esiste sulla retta un punto, ed uno solo, a cui quei punti si 
avvicinano indefinitamente. 
Il modo stesso col quale si perviene a costruire questo punto 
mostra che l'indice irrazionale del punto rappresenta pur esso la 
distanza del punto stesso dal punto h, relativamente al segmento 
unità b,b, ed al punto infinito a. 
In tal modo è distesa sulla retta tutta la variabile numerica 
reale, si è cioè stabilita fra i punti della retta e la variabile 
numerica reale una corrispondenza univoca e continua, nel senso 
che se la differenza fra due valori reali razionali o irrazionali 
della variabile diventa indefinitamente piccola, i punti della retta 
che a quelli corrispondono si avvicinano indefinitamente fra loro. 
Ciò posto indichiamo con »y, Piaf Pe -- le ridotte suc- 
cessive della frazione continua infinita che rappresenta il nu- 
mero p, e costruiamo sulla retta i punti che hanno per indici 
rispettivamente 2v, 2,, 29,-.. 20;:-.., essì sono coniugati 
armonici del punto h, ordinatamente rispetto alle coppie ab,, 
o,» &b, ,... ab, , o in altre parole, se del gruppo armonico 
"4 03) 
ab,b,b,, si tengono fissi i due punti non coniugati ab,, e si fa pas- 
sare il terzo punto successivamente nelle posizioni b, , b, ...., b, il 
*4 9 (ca 
quarto punto passerà rispettivamente nelle posizioni da, bi... DI 
9 
209° 
e poichè le classi di numeri 
, ni 
Us 2f, e PRTACI PORTE 20,» 208, 2p,... 
rappresentano il punto p, di indice irrazionale doppio di quello 
del punto p, anche il gruppo apb,p, è armonico. 
costruzione a molte proposizioni contenute nei noti lavori di G. CANTOR (v. 
Acta Moth., vol. II) Ed è evidente che in tal modo noi possiamo rappresen- 
tare sulla retta tutte le grandezze numeriche di 23, 3% .. » specie, di cui fa 
parola il CANTOR (v. p, 337). 
