528 FEDERICO AMODEO 
Così continuando si ritrova che i teoremi dei n'. 18, 19 e 20 
dimostrati per punti d’indici frazionarii della serie ab,b, valgono 
pure per i punti di indici irrazionali, e ciò permette di con- 
chiudere: 
Se due forme proiettive semplici sovrapposte hanno tre 
elementi omologhi uniti, tutti i rimanenti elementi sono uniti. 
Birapporto, elementi immaginarii ed equazioni. 
23. — Chiameremo dirapporto di quattro punti b, Da Da RUS 
(dove 2,, %,, %,, >, sono valori qualunque della variabile mu= 
merica razionale ed irrazionale) l’espressione numerica 
SRL TE 
formata mediante gli indici dei quattro punti dati, e che indi- 
cheremo al solito col simbolo (),2,)3},) 
Se i punti presi sulla retta (oh ab, b,b,, il birapporto di 
essi è eguale a ); cosicchè l’indice che sa) cina assegnato ad 
ogni punto rappresenta pure il birapporto di questo punto in 
ordine ai tre punti fondamentali ab,b,, e per tal motivo d’ora 
in poi chiameremo birapporto o parametro l'indice numerico del 
punto. 
Il punto della retta che abbiamo come quarto armonico in 
ordine ai punti ab,b, è il punto b_,, quindi il birapporto di 
questi quattro punti armonici è —1; e quindi anche eguale a—1 
è il birapporto di ogni gruppo armonico del tipo ab,_,b,Pn4,- 
Ma l'importante è che se mediante tre punti b, RL MLN si costruisce 
il quarto armonico b, il birapporto dei punti b, Di Da b, è 
sempre equale a — 1. Difatti, trasportando il punto zero in Db, ed il 
punto b, nel punto b, , 1, i io degli altri tre punti saranno 
i 
Lo bisvamonte I), 33): 2, À;; se ora si scambia il 
punto 0 col punto co, e > Lai i il punto 1, i para- 
1 1 
etri di quei tre punti diventano ———, ———, ——-. Ma 
ta 3 i I e 
