POSTULATI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA 529 
essi sono armonici in ordine a b,, che ora è il punto infinito, 
dunque, pel teorema 20, deve avverarsi la relazione: 
2 1 1 peste E TESE, 
ovvero Seli. d'__ 1, 
EE Move r=i0db=h 
Viceversa, se quattro punti presi ad arbitrio mella serie 
ab,b, hanno per birapporto — 1 essi sono armonici in quel- 
l'ordine considerato, 
24. — Questo teorema rientra nell'altro più generale: Il birap- 
porto di quattro punti della retta rimane inalterato qualunque 
sia la terna di punti della retta che si assume come terna 
fondamentale. Infatti, il cambiamento di uno o due dei punti 
fondamentali fa subire ai parametri dei punti le trasformazioni 
5 1 SO + ] 
NeER. h., 3; quindi il cambiamento della terna fondamentale 
fa subire ai parametri di ciascun punto la più generale trasfor - 
mazione lineare e perciò il birapporto di quattro punti è inva- 
riantivo. 
Oppure, supposto che in una data retta siano assegnate due 
terne di elementi fondamentali ab,b, ed a'b'b', ed un elemento 
qualunque m abbia il parametro ) rispetto alla terna fonda- 
mentale ah,b,, e } rispetto alla terna ab.,b,, si dimostrerebbe 
al modo solito che ))' sono legati dalla relazione 
22 — (ab, b,a)X— (a'b°,b,2))— (2b,b,b') (abba) =0 
che si riduce all’altra 
magei i a 
ciì+d 
e quindi se mnpq sono quattro punti della retta, sarà il loro 
birapporto rispetto ai punti fondamentali ab,b, uguale al birap- 
porto degli stessi punti rispetto ai punti fondamentali a,b, - 
Se invece i valori ). e )' rappresentano i parametri di due 
punti, in generale distinti, riferiti alla medesima terna fondamen- 
tale abb, , la relazione precedente stabilisce una corrispondenza 
univoca fra i punti della retta, tale che il birapporto di quattro 
punti arbitrari mnpq è eguale al birapporto dei quattro punti 
