SULLA CONDIZIONE DI SCAMBIEVOLEZZA, ECC. 121 



Classe I. 



Sia ili primo luogo ab>0, poniamo ah = 31^, avremo 

 dUj_ 1 



L'integrale generale si ottiene sotto la forma 



JC JC M /y% 



y^c^e^'+c^j'^-h c^cos - + c^sen^ -..(4), 



ove Cj , e.-, , Cg , c^ sono quattro costanti arbitrarie, quindi 

 per la (2) , 



^"':m'4''^ '' -^3C0s^-c,sen-j ...(5). 



Adunque, notando che h è una quantità arbitraria positiva 

 negativa, si vede che ogni curva rappresentata da una equa- 

 zione della forma (4) avrà i chiesti rapporti di scambievolezza 

 con altre curve dello stesso genere, le quali abbiano un'equazione 

 della medesima forma, differente soltanto nei valori delle costanti; 

 e ciò inquantochè il coefficiente di x resti lo stesso, e quelli dei 

 quattro termini trascendenti conservino fra loro gli stessi rap- 

 porti di grandezza assoluta, però i due primi o i due ultimi ab- 

 biano cambiato il segno. Si scorge d'altronde chiaramente che 

 rinnovando sui coefficienti della 5 queste modificazioni, si può 

 ritornare alla (4), 



Classe II. 



^^ , à^y 4 



Sia ora a 6 -< , poniamo a 6 = — onde - — j = — -r—. y ; 



4 da; iV 



l'integrale generale è 



2/ = e^v^^c^cos-+C2sen-j +e ^( CgCOS- + c.sen^j , 



ove i e indicano quattro costanti arbitrarie. Se si pone 



-!• = tang 7 , -^ = lì , -2 z= tang ,6 , — ^ = k , 

 e, cosy c^ cosp 



