SULLA CONDIZIONE DI SCAMBIEVOLEZZA, ECC. 123 



- 1 dw 1 clu 



cotg / = -; h cotg a , cotg a = — Y cotg « . 



sena da; sena da; 



Ora, stante la equazione (1), la quadratura x^y^y^x^ avrà per 



espressione 



a^j aTj 37, 



f fd^'u^ ìàv 



sen Qc\ydx:=a sen a I -r— ^ d a; = a sen a 1 -- 



J^ /da;- . [da; 



X 



9 



r= a sen^ a (cotg juig— cotg jU.^ ) , 

 e la quadratura x^v^v.^x.^, stante la (2), 



sen a I u d a; = /> sen a I ^^ — 5 dx=h sen- a (cotg X, — cotg X, ) . 



A queste forinole risponde una semplice costruzione geometrica: 

 prendiamo sull'asse delle ascisse 0H= ]/ a (*) e tiriamo H3I pa- 

 rallela all'asse delle ordinate ; supponiamo condotte le tangenti 

 alla curva v^v.-, nei punti Uj e u., e dal punto conduciamo 

 0?'j , 0/, rispettivamente parellele a queste tangenti, indi da i^ 

 ed 1, intersezioni con la RM conduciamo i^ j^ , % j^ perpendi- 

 colari all'asse delle ordinate; l'area del rettangolo i^i^j^Jx ri- 

 sulta equivalente ad x^y^y^x.-,, poicliè j^^j =|/a sen a , e 

 e ?'j ?', = y a sen a (cotg ^.^ — cotg^a^ ). Prendendo le mosse da 

 un'altra distanza OK=yb e dalle tangenti in y^ ed y,-, , si può, 

 con identico procedimento, ottenere la quadratura di x^v^v^x^. 

 Se a = ì) il secondo rettangolo La la stessa base del primo. Si 

 comprende anche agevolmente ciò che diventa il procedimento 

 quando le due curve si confondano in una sola, caso che vedremo 

 tra poco qualmente si verifichi. 



Senza ricorrere peranco alle equazioni precedenti, il descritto 

 procedimento geometrico di quadratura può desumersi sempli- 



(*) Questa quantità è sempre reale, perchè la radice va estratta dal va- 

 lore assoluto. Nel caso di a negativo, il segno — resta proprio della quadra- 

 tura e trova la sua spiegazione, in quantochè stante la (I) dove le ordi- 

 nate y sono positive si ha in tal caso cotg u, <^ cotg //, . 



