SULLA CONDIZIONE DI SCAMBIEVOLEZZA, ECC. 131 



volge costantemente all'asse delle ordinate la concavità, non ha 

 asintoti, ha centro all'origine delle coordinate, presenta quivi un 

 punto d'inflessione ma non può riuscire tangente all'asse delle 

 ascisse. 



Se il!f/<cosa>0 la curva è compresa negli angoli acuti for- 

 mati fra gli assi; ricade invece negli angoli ottusi se ilf/icosa<0. 



Nel primo caso cotg a e rr^L sono dello stesso segno, opperò 



ili sen a 



le espressioni (17) di cotg )> sono somme, X non può essere retto; 

 nel secondo caso queste espressioni sono differenze, opperò ). po- 

 trebbe passare per 90" purché fosse 31' cos~ a. ^ /r ; di fatti egua- 

 gliando a zero il 1" membro della (17) viene 



,^,7 ^ VH~ cos^a -^2_ jf cosa 1 



A — yji^cos~«— /a- — J/cos« 



= ±3I 



h 



y =^± y3r~cos'c/. — ]r\ 



espressioni le quali, subordinatamente al verificarsi simultanee le 

 due preenunciate condizioni, forniscono per x due valori reali eguali 

 e di seguo contrario ed altrettanti per y, indicanti due punti della 

 curva equidistanti dall'origine, nei quali la tangente è perpendico- 

 lare all'asse delle ordinate. Pertanto se h — — 31 cosa i due punti 

 si confondono in uno proprio all'origine delle coordinate , ossia 

 coincidente col punto d'inflessione. Adunque, secondo i casi, la tres- 

 siclinoide può avere due vertici, o nessuno, o due riuniti 

 evanescenti nel punto d'inflessione. 



3" CjC2 = 0. Logaritmica. Essendo nulla una delle co- 

 stanti, si tolgono gli indici inutili e l'equazione (11) diventa 



.r 



y=:ce^^ , 



dove e ed ikf possono essere ciascuno positivo o negativo. La curva, 

 offrendo la sua ben nota forma, ha ascisse varianti da — oo a +'=^5 

 ed ordinate varianti da ad co od a — cxd secondo che e è positivo 

 o negativo ; essa ha per asintoto l'asse della x nel verso positivo o 

 nel verso negativo, secondo che 31 è negativo o positivo; non ha 

 punti d'inflessione e rivolge all'asse delle y prima la convessità e 

 poi la concavità intersecandolo alla distanza e dall'origine. La 

 curva scorre rispetto agli assi in due angoli adiacenti, il verso in 



