134 GIULIO EMERY 



Queste equazioni sono di forma trascendente tale da non po- 

 ter somministrare alcuna espressione generale di 31, salvo nel 

 solo caso che sia cos5<^=0. In questo caso si ha, come già detto, 

 la meneclinoide simmetrica, la (22) diventa identica alla (14), poi- 

 ché effettivamente per la (19 3') II=h, e dalla (20) si ricade 

 nella (15) in coordinate ortogonali. 



In generale pertanto occorrerà risolvere per tentativi la (21) 

 la (22). Interessa perciò in prima riconoscere quante soluzioni 

 vi possano essere nei singoli casi. Innanzi tutto appare manife- 

 sto che se un certo valore M^ soddisfa alla (22) vi soddisferà 

 pure il valore — M^ , mentre d'altronde il segno di M è senza in- 

 fluenza sulla (20) ; lice dunque limitarsi a considerare i valori posi- 

 tivi di M. Kesta a sapersi se di questi un solo o più possano sod- 

 disfare alla (21); a ciò indagare poniamo per brevità — = |/^ , 

 L cos a = p, la (21) si potrà scrivere: 



= -2F-\-H{ey'' + e-^')-P 



e sviluppando le esponenziali nella nota serie che è convergente 

 per qualunque valore finito di z viene : 



7/ 1.2.3.4.5.6 V 2n+l/(2n)! 



Attesa la convergenza della serie, si può sempre con esattezza 

 considerarne un numero di termini non infinito, purché indefinito, 

 per conseguenza la (23) ha tutte le proprietà di un'equazione alge- 

 brica. A ciascun valore di z radice reale e positiva di quest'e- 

 quazione corrispondono due valori reali di M. eguali e di segno 

 contrario; e siccome abbiamo visto che il segno di Jf non in- 

 fluisce sulla (20). cosi il numero delle curve soddisfacenti ai dati 

 del problema sarà proprio quello delle radici reali e positive (*) 



(*) È ben vero che valori iramaginarii di M. darebbero pure , posti 

 nella (20), una curva reale; ma questa non avrebbe le proprietà delle clinoidi 

 essendo la sua equazione diversa per tipo dalla (1 1) e con funzioni circolari. 



