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Alcuni teoremi sili coefficienti di Legendre , Nota di Ottavio 

 Zanotti Bianco Ingegnere. 



I. 



Se PqC'^-), Po(,y-), 1^4 (/'-'-)» so^o le armoniche zonali sujjer- 

 fìciaìi coefficiemti di Legendre {*) della variabile p. = cosQ e 

 dell'ordine indicato dal loro indice, e se « è un intero positivo 

 qualunque, dico che si ba : 



(sen^)^" = 23«L^-^P,(f..) + ^^^PJ^.)j . 



Vale a dire (sen5)*", per n intero e positivo, è sempre esprimibile 

 a mezzo di una serie finita di armoniche zonali superficiali di 

 ordine pari. 



Si ha infatti dalla trigonometria 



3 1 1 



(sen'5)* —— — cos 2 5 + — cos 45 : 



8 2 8 



e dalla teoria delle funzioni P, in generale, per m pari, 

 oosm5 = B:;"> P„.(u) + B'::,P,„_.(.u) + + 



+<"'p,w+ +b:"'pjia, 



nella quale è 



gW^_,2 ■ . ix \m-{i-2)\\m-{i-4:)\...{m-2)m^m+2)...]mMi+'^)\ 

 ^ '^ '\m-{i+l)\\m-{i-\)\...{m-l){m+l)...{m-\-{i-{-l)) 



'*) Per questi nomi e per le altre denominazioni date alle funzioni qui con- 

 siderate ed alle loro analoghe, vedi le opere seguenti: Ferrers, An elemen- 

 tari/ treatise on spherical Harmonics and Subjects connected with them. Lon- 

 don, 1877, p. 3. — ToDHUNTER, An elementary treatise on Laplace's Funciions, 

 Lame's Funciions and Besset's Functìons. London 1875, pp. 1 e 2. — Zanotti 

 Bianco. Il Problema meccanico della Figura della Terra esposto secondo i 

 migliori autori. Torino 1880, pp. 151-52. 



