152 OTTAVIO ZANOTTI BIANCO 



Da questo fatto m=:0,2,4, si ha 

 cosOO = PJiJ.) = l , 



cos25=-Ì-P (/..)+4^2(P-)' 



Sostituendo questi valori, nell "espressione trigonometrica già scritta 

 di (sen $)^, si ha: 



(sen$)^^^-Ì^P^.(/.)+^P,(a), .-.(l) 



formola, che fu data, senza dimostrazione, da Ferrers nel 1877. 

 Elevando la ( 1 ) alla potenza n , si ha : 



(sen Of' == 23 « 1 1 _ 1- P^ (p.) + i P, (p.) j ", 0. F. D. ... (2) 



sen 9 non è esprimibile in serie finita di armoniche sonali su- 

 perficiali, come risulta dalla nota espressione 



3e.^^k4p,,)-...H...i, ^:::^^;^::i:;;Ì p,(.)-4...(3 



i essendo un numero pari: da questa se 5 = 90", 



i 5 1.3...(«—1). 1.3. ..(«•— 3) i-i 



nella quale, sostituendo alle funzioni P i loro valori corrispon- 

 denti a 15 = 90", si ha un'espressione di n, molto facilmente cal- 

 colabile. I detti valori delle funzioni P si hanno facilmente dalla 

 formola generale: 



P, {(j.) = A, ij} + ^u ur~ + + ^„ , 



