154 OTTATIO ZANOTT] BIANCO 



(II) I PJiJ.)P„{iJ.)cl!J. = , 



— 1 



+1 



-1 



(III) jp,(,.)|^,,.=__ 



Legendre le ha dimostrate nel 1784 pel caso di m ed n pari, 

 e per m ed n qualunque nel 1789 (*). 

 Dimostrerò ora che 



(IV) j F„A'^)PAiJ-)PAp)diJ.=^^ 



—1 



per tutti i valori di m, n. r, tranne per quelli, che son tali, che 

 m-\-n-\-r = 2(7 , e di più, che ciascuno dei tre numeri sia, o 

 minore della somma degli altri due, od uno eguale a tal somma 

 Questa proposizione fu enunciata, ma non dimostrata da Schmit 

 nel 1858 {**). Eccone la dimostrazione: 

 F. Neumann ha dimostrato che, 



p^(^.)^„(p.)-^a,p,(f^.)r*). ••.(!) 



(*) Recherches sur la Figure des planètes. Mémoires de l'Académie de Paris, 

 1784 (stampate nel 1787) pp 370-389. Al principio di questo lavoro havvi 

 la nota seguente: « La proposition qui fait l'objet de ce Méraoire, étant dé- 

 montrée d'une manière beaucoup plus savante et plus generale dans un Mé- 

 moire que M. de la Place a déjà publié dans le Volume de 1782, je dois 

 faire observer que la date de mon Mémoire est antérieure, et que la propo- 

 sition qui parait ici, telle qu'elle a été lue en juin et juillet 178'i, a donne 

 lieu a M. de La Place, d'approfondir cette matière, et d'en présenter aux Géo- 

 mètres, une thdorie complète ». Questa memoria fu letta all'Accademia di 

 Parigi il 7 luglio f784. — Suite des Recherches sur la Figure des Planètes, 

 Mémoires de l'Académie de Paris, 1789 (stampate nel 1793) pp. 372. .. 454. 

 A piedi della pagiaa 372 leggesi la scritta seguente. « On trouve dans un 

 Mémoire de M. de la Place, imprimé à la tète de ce volume, des recherches 

 analogues aux raiennes. Sur quoi j'observe que mon Mémoire à été remis 

 le 28 aoùt 1790, et que la date de celui de M. de la Place est postérieure », 



**) Éludes sur une classe de Fonctions employées en Mécanique Celeste, 

 Recherches sur les Fonctions de Legendre. Bruxelles, 1858. 



(***) Beitrdge zur Theorie der Kugelfunctionen, Leipzig, Teubner, 1878. 



