ALCUNI TEOKEMI SUI COEFFICIENTI DI LEOENDRE 155 



nella quale j>, quando n ^ m , prende tutti i valori , n — di , 

 1/ —'>ìt-\-2 , n — 7» -f 4, . . . n -f dì. Heine {"■'•') ha dato al risultato 

 di Neumann la forma seguente. Si ponga in generale 



,. . 1-3.5 (2g-l) 



'^^^~ 2.4.6 (2g) ' 



DI -\- n -\- p = 2t , 

 dall'equazione 



2j9 + l (//(^— y;/)(f (^ — «)^(^— J^) 



Moltiplico ambi i membri della (1) per una funzione P^{p.), tal 

 che il suo ordine r non sia uguale a nessuno dei valori che può 

 prendere 2^ nello sviluppo di Neumann, ed integro rispetto a /a , 

 fra — 1 e + 1 • Allora tutti i termini della somma, che sta al 

 secondo membro saranno della forma 



—1 

 e quindi , poiché in essi 2^ è sempre diverso da r, essi saranno 

 tutti nulli in virtù della (II) , e sarà colle dette condizioni , 



(V) P^{ix)P„{fj.)P^{^)dii = 0. 



—1 

 Moltiplicando invece ambi i membri della (1) per una funzione P, 

 il cui ordine sia uguale ad uno dei valori di 2^ nello sviluppo 

 di Neumann ed integrando rispetto a u fra — 1 e +1, i ter- 

 mini della somma, che sta al secondo membro, che contengono 

 due arnioniche sonali siqierficiali d'ordine diverso, s'annulleranno 

 tutti per la (II), e rimarrà solo quello che contiene due funzioni P 

 d'ordine eguale, ed in virtù della (III) sarà, se quest'ordine è p ; 



\ PMPn{p)Pp{'Adp.= 



(VI) < l, 



/ _ 2 ^{t — Di)<ì>{t~n)<\>{t—p) 

 ~ 2t+\ ^) ■ 



(*) Handbuch der Kugelfunclionen, Zweiter Band, p. 371. 



