ALCUNI TEOREJil SUI COEFFICIENTI DI LEGENDRE 157 



c moltiplico ambi i numeri dell'ultima espressione per P„{p.)d[j., 

 ed integro rispetto a u. fra — 1 e + 1 : si avrà 



/ 



+1 



j^sen P„{ij.)(hj. 



/• + ! /• + ! 



I I\. ip.) dp. - I J P„ ip.) F, (;.) dii- - 



-1 -1 



(2/+l)1.3...(/-l)1.3...(e-3) rp^,,)p,,( ),,, 

 4. .. /■(/ + 2)2.4. . ./(/_2)J '^' ^ "^' ' ' 



Ora se n è dispari , esso sarà differente da tutte le i che sono 

 pari , ed in virtù della (1) e (II) si annulleranno tutti i termini 

 e sarà , 



I sen6.P„{iJ.)(liJ. = . 



-1 



Se n è pari si annulleranno pure tutti i termini, tranne quello 

 che contiene due funzioni P d'ordine eguale, sia questo n, per 

 la (III) sarà, n essendo ora un'indice generale, 



/ 



. x> . N 7 i.^... (w-i)i.;5...(«-3) 



—1 

 Si ha: 



2.4...» (vi + 2) 2 . 4 ... »? (w — 2) 



/./==! (1 + 2 P,(/..)), 

 donde 



Suppongo ora, che m ed n siano due numeri tali che m-^ìi + 2 = 27, 

 e che in quest'ultima espressione ciascuno sia minore della somma 

 degli altri due, od anche uno eguale a questa somma, e molti- 



Atti K. Accad. - Parte Fisica — Voi. XMI, 12 



