284 E. d'ovidio 



dove 

 A 





1 / D'o) O^cp 



i2 fD = 



jy. V \Da;jO?/g O^r. 





® essendo una forma di ordine [j. nelle a; e di ordine v nelle t/, 

 e dove inoltre le y. sono costanti dipendenti solo da n. 



Ora il 1" termine ^" D" f{x^x.^, y^y^) , scambiandovi le x 

 con le y, diviene D" A" f'{y^y.^, x^x^) ; e siccome la /' è sim- 

 metrica rispetto alle a; ed ^ , così è facile vedere che esso non 

 ha mutato valore. Siccome poi pel detto scambio /" si muta 

 in — O/', così O^/'non muta, e però il coefficiente del 3" termine, 

 ot.^ò>^~^ I)"~'^Q}f, si trova nelle stesse condizioni del 1°. E lo 

 stesso dicasi dei coefficienti dei successivi termini di posto dispari. 



Ma il coefficiente del 2" termine, «j A"~* D"~' 0/", per lo 

 scambio delle x con le y diviene — «^ Z)"~* A"~' £}/', e non si 

 scorge che questa espressione equivalga alla primitiva. Tuttavia 

 possiamo dimostrare che questo coefficiente è nullo. 



•Infatti, essendo Qf funzione alternata delle x,y, essa con- 

 terrà il fattore {xy) , e potrà porsi 



^f={xy)fi , 



dove f^ è una forma di ordine w — 2 nelle x e nelle y , simme- 

 trica rispetto ad esse. Ora si ha 



I)"-' Of=B'^-' [{xy) f\ I -^~B--^\D{xy) • /; + {xy)I)f^] 



= \B'^-^\{xy)T)t\\ = • • • =\D\{xy)I)--^ f] = , 



Dunque nello sviluppo di /' mancherà il 2° termine (^). 

 E siccome 



/■— A"i)"/" 



v^y) 



è una forma nelle stesse condizioni della proposta /' ; così nel 



(*) Debbo questa dimostrazione all'egregio Prof. G. Loria, al quale avevo 

 fatto notare l'imperfezione del ragionamento del Clebsch. 



