OSSERVAZIONI AL CLEBSCIl 291 



essere reali e disfiìifc o eomplesse, secondo clic jf- iJi /la il 

 segno di i per una e quindi per eiascuna cop2^i(i di valori reali 

 Xj X., [od altrimenti: secondo che jf — iH ha i coefficienti di 

 posto dispari del segno di i o del segno opposto) ; e le altre 

 due radici della H=0 saranno rispettivamente complesse o 

 reali e distinte. Quelle e queste saranno poi armoniche ri- 

 spetto alla radiee multijdn ed alla rimanente radice di T=0. 



IV. 



Sia ora J2 = 0, senza che sia nullo / e (jiiindi neanche j ; 

 ma sia T identicamente nullo. 

 Allora la relazione 



-2T'=ù{H,-f) = {H-i-mf){H+m'ff 



mostra che H non è identicamente nullo, e che uno dei due 

 H-\-mf\ H-\-m'f è identicamente nullo, sicché H o /' hanno 

 gli stessi fattori. Ma si è dimostrato innanzi che ogni fattore 

 comune a, f e H e almeno doppio in /'; e d'altra parte /" non 

 è un biquadrato, altrimenti H sarebbe nullo, come pure si è 

 dimostrato innanzi. Dunque f sarà il quadrato di una forma 

 quadratica che non è un quadrato. 

 Posto 



si ha 



a/ ay = © ,.- ■ © , ' cp^' , a/ a^ = cp/ • fy" — -^ ^' (^ [/)' ; 

 e quindi 



H — - [a cp)- a,' cp ,, — -i- r a^^ =r r cp- — -!- ra,'=~ r f , 



o 



'i = [a (py {af } = r- — ^ r- = 7 ?" , 

 3 = {aHf = \rir=^r\ 

 wi — -ir , m' T=z — \r\ 



onde risulta identicamente nullo //+ m' f. 



