294 GIUSEPPE PEANO 



il equazioni differenziali lineari omogenee ( prive di secondo 

 membro) fra le n funzioni x^x.-^...x„ della variabile t. e in cui 

 i coefficienti a,, siano funzioni di / continue in un intervallo 



Si sostituiscano nei secondi membri delle equazioni differen- 

 ziali proposte, al posto di x^... x„, ìi costanti arbitrarie «j, «j..., 

 a„ , e, dopo averli moltiplicati per dt , si integrino da f^-^ a t , 

 essendo t^ e t compresi nell'intervallo [l^, q)] si otterranno n 

 funzioni di t, che chiameremo a^' a^' ... aj. 



Si sostituiscano nei secondi membri delle equazioni differen- 

 ziali date al posto di x^...x,,, rispettivamente a'^...aj, e, dopo 

 averli moltiplicati per cìt, si integrino da ^^j a ^; si otterranno 

 n nuove funzioni di t che chiameremo a^", aj', ... a„". 



Si sostituiscano nei secondi membri delle equazioni date al 

 posto delle x le a", e si integrino da ^i, a f ; si otterranno le 

 funzioni f^^" , ... a„"'. E così via. 



Le serie 



^in + n„' + a „"+((„"+ ... 



sono convergenti in tutto l'intervallo {p,q); le loro somme, che 

 diremo x^, x,^, ... , x„ , sono funzioni di t che soddisfano alle equa- 

 zioni differenziali proposte, e che, per t = t^^, assumono i valori 

 presi ad arbitrio a^c(^....a„. 



Si ha così l'integrale generale delle equazioni date espresso 

 mediante serie convergenti finché sono continue le funzioni a,y date ; 

 i termini di queste serie si ricavano dalle ty.^j colle sole opera- 

 zioni di addizione , moltiplicazione ed integrazione ; inoltre la 

 convergenza di queste serie, paragonabile a quella dello sviluppo 

 di e"^ , è in generale sufficientemente rapida per servire utilmente 

 nei calcoli. 



2. Per dimostrare la proposizione precedente, ed altre ana- 

 loghe, è pressoché indispensabile introdurre alcune notazioni, basate 

 sui numeri complessi di specie qualunque, che permettono di sem- 

 plificare di molto le scritture. 



