296 GIUSEPPE PEANO 



finiti la differenza fra due complessi ed il quoziente d'un com- 



a 



plesso per un numero reale; e si La (a — b) + b = n, ; l—=:si . 



Definiremo il modulo d'un complesso ^ = [x^x.^ ... x„] col- 

 l'uguaglianza 



mod X — |/a^j'4- x.,~ + . . . + oc„~ , 



il radicale prendendosi in valor assoluto. 

 Si dimostra facilmente che 



mod (a + b) ^ mod a + mod b , 

 mod (/,a) = mod /.■ X mod a , 



ove a e b sono complessi , /.■ è un numero reale , e mod /• ò il 

 suo valor assoluto. 



Diremo che il complesso variabile x=[.rj ... x„] ha per limite 

 il complesso ar=[a, ^ ••-('„]■> se lim Xy=a^ , lim ic.,= rt., , . . . 

 lini x„ = a„ . Si deduce che , se lim x = a , lim mod (x — a) = , 

 e viceversa. 



Essendo definiti per i complessi la somma ed' il limite, si 

 può estendere alle serie a termini complessi la definizione di 

 convergenza. Si dimostra che una serie a termini complessi e 

 convergente, se è convergente la serie formata coi loro moduli. 



Se X = [x^ , X,, . . . x„ ] è un complesso funzione della variabile 

 reale t, potremo ad esso estendere le definizioni di derivata e 

 di integrale. Si ricava 



fZx 

 Tt 



dx^ dx.^ d x„ 



dt dt dt 



t 

 [iLdt=^\\x^dt , \ x.^dt ., . . . \Xndt\. 



'*. C '., '„ 



(oppure si possono assumere queste eguaglianze per definizione 

 della derivata e dellintegrale d'un complesso). 

 Si dimostra che, se 't^i<-ty, 



od X r? ^ < (mod ^) dt 



m 



