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3. Diremo (rnsf'oniìaiione liiicarr iriiii complesso l'operazione 

 per cui ad ogni complesso X— -[j^'^, .v., , ... ./„] si fa corrispondere 

 un nuovo complesso [^jj .fj + j'j^jr'., .,. + «,„a;„ , a.,^x^-\-c/..^2X.^-{- ... 



-i-a,„x„, ..... e/.,, . .r^ \-a„, ./•., + + ^«n ■'■«] 1 tale che i numeri 



che lo compongono sono funzioni lineari omogenee dei numeri che 

 compongono il complesso x. La trasformazione lineare considerata 

 dipende dagli n^ coefficienti y,^; noi la indicheremo collo schema 



y-n ' '-"li ' • • • ^i" ì 



■Jì ' "^:?2 ' • • ' ■'■■211 ( 



/ • 



(Quando non occorra di mettere in evidenza i coefficienti della 

 trasformazione, essa verrà indicata con una lettera sola a, jS, ... 

 Se X è un complesso, e a. una trasformazione, con ax inten- 

 deremo il nuovo complesso ottenuto eseguendo su x la trasfor- 

 uìazione y.. 



Si dimostra che 



Se X ed y sono numeri complessi, a. una trasformazione li- 

 neare, si ha 



« (x + y) = ^ X + a y . 



Viceversa, se s^x è un complesso funzione del complesso x tale 

 che 5< (x + y) =«x + ay , e inoltre che col tendere di x verso 

 X, , sia lim «x=:ax^^, allora il complesso ax si può ottenere 

 operando su .v con una trasformazione lineare. 



Duo trasformazioni lineari a e (ò diconsi eguali, se, qualunque 

 sia il complesso x, si ha 7.x=^jX. Si deduce che se «=(5, 

 ciascheduno degli ?r coefficienti in c< è eguale al corrispondente 

 in (3. Affinchè una trasformazione y. sia eguale ad un numero /: 

 è necessario e sufficiente che tutti gli elementi dello schema di a 

 che stanno sulla diagonale principale siano eguali a /.•, e gli 

 altri siano nulli. 



Essendo e/, e fi due trasformazioni lineari, il numero com- 

 plesso c/.x-\- fi X si può ottenere eseguendo su x una nuova 

 trasformazione lineare , che si indicherà con a -\- fi) : sicché per 

 definizione si ha 



{ci-\-fi)x = ax-{-fix. 



