EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 301 



i cui moduli sono iiiiuori dei termini della serie precedente è 

 puro convergente; e sono convergenti le serie reali 



'''., + «/ + f^" + 



Le derivate dei termini della serie {*) sono 

 , «a , ^si', y.iì', ... 



che formano la serie (''*) moltiplicata per a ; quindi questa serie 

 è pure convergente e di convergenza equabile ; pertanto, se si fa 



x = a + si'4-ji"+ ... , 



si deduce dx , „ 



dt 

 ossia d X 



vale a dire x soddisfa effettivamente air equazione differenziale 

 proposta. Se si fa poi t = f^^ si ha a'i- 0, a"=0. ... e quindi 

 xrz=a. Cosi risulta dimostrato il teorema. 



Sostituendo nello sviluppo x — a + 5^'+^ + ••• ad a', a',... i 

 loro valori, la serie che dà x si può mettere sotto la forma 



x= (^1 -i- i V. d t -\- iy. (] t ia r/ /+ j'-y '/ ffv.df['y.df-\-...yd. 



in cui gli integrali sono estesi da f^^ 3i t . 



5. Se le 9. sono indipendenti da t, cioè le equazioni differen- 

 ziali proposte sono a coefficienti costanti, fatto ^^^ 1= , si ricava 



^-(l + '>^^ + Vf+^ + ---)«^ 

 e se si conviene di rappresentare con e", anche quando y. b un 



"2 



complesso qualun(|uc . la somma della serie 1 + a + — + . . . , 

 l'integrale dell'equazione differenziale proposta diventa 



x^e^'a . 

 Atti R. Accad. - Parte Fisica — Voi. XXII. 23 



