302 GIUSEPPE PEANO - EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 



Un'equazione differenziale lineare omogenea d'ordine n con- 

 tenente una sola funzione è, com' è noto, riduttibile ad un sistema 

 di equazioni lineari di primo ordine ; applicando a queste la serie 

 precedente si ritrovano gli sviluppi dati da Sturm {Cours d'Ana- 

 Jì/se, 614), dal Caqué {Journal de Liouviìle, 18G4) e da Fuchs 

 {Annali di Matematica, 1870). 



L'integrale delle equazioni differenziali lineari non omogenee 



dXi 

 dt 



dx„ 

 dt 



si può ottenere, com'è noto, dall'integrale delle stesse equazioni 

 in cui alle j9 si sostituisca . Se, oltre alle convenzioni prece- 

 denti , si fa 



P = [Pi , • • • , Pn] , 



le equazioni differenziali proposte si riducono a 



Indicando con e la somma della serie già considerata 



l + ^cidt-\-Cxdtiadt-}- - ' ■ 



in cui gli integrali si prendono da ^^ a i^ , e con e~ ' la serie 



analoga in cui gli integrali si prendono da ^ a t^^, l'integrale 



dell'equazione differenziale proposta, il quale per t=t^^ assume 



il valore a , è dato da 



t 



X=:£.a + £ S~*P<^^ • 



t 







Le trasformazioni ó ed £~* soddisfano alla condizione ce~^=l . 



