SULLA VARIETÀ CUBICA CON DIECI PUNTI DOm 549 



Le rette di uno stesso sistema incontrano i piani di una 

 quintupla e non (in generale) i 10 rimanenti jiiani di P; così 

 i sei sistemi di rette corrispondono alle sei quintuple. Un sistema 

 non ha alcuna retta nei piani della quintupla che gli corrisponde, 

 mentre ha in ciascuno dei dieci rimanenti piani di P un fascio 

 di rette avente il centro in uno dei dieci punti doppi. Le qua- 

 drichc di P situate negli spazi passanti per uno qualunque dei 

 quindici piani hanno i loro due sistemi di generatrici costituenti 

 risp. quei due sistemi di rette di P che sono incidenti alle due 

 quintuple cui quel piano appartiene. 



Se da (lue rette di uno stesso sistema si projettano le rette 

 di un altro sistema, si ottengono due reti projettive ("). Ne segue 

 che ognuno dei sei sistemi, e quindi anche la varietà 1^, si può 

 generare in infiniti mo;li come luogo delle co- rette d'interse- 

 zione degli spazi corrispondenti di tre reti projettive. Perchè tre 

 reti projettive, aventi per sostegno tre rette date r^ r^ r^ indi- 

 pendenti, generino una Viirietà cubica della specie da noi con- 

 siderata, è necessario e sufficiente che, scelti ad arbitrio quattro 

 piani indipendenti seganti r^ /•., r^ si determini la projettività 

 fra le reti facendo corrispondere in esse gli spazi che vanno ad 

 uno stesso di quei quattro piani. 



4. La varietà P si può anche definire come il luogo delle 

 ocr rette che incontrano (quattro piani qualunque non incidenti. 

 Quelle rette costituiranno allora uno dei sei sistemi situati su 

 P ed incontreranno ancora un quinto piano costituente coi quattro 

 dati una quintupla. Ne segue facilmente la seguente proposizione 

 notevole : 



Le (oo-) rette che si appoggiano a quattro piani dati (nella 

 posizione più generale) «^ a., «.^ «^ ne incontrano pure un quinto 

 perfettamente determinato da quelli con la seguente costruzione : 

 s'indichi con a/ il piano determinato dai tre punti a^. a^ , a, «„,, 

 a„ «^ (dove / A: / m sono i numeri 1 2 3 4 in un ordine qua- 

 lunque) ; i piani a^' c/.J a.,' a^ così determinati incontreranno 

 rispettivamente i piani <y.^ y.., y.^ «^ in quattro punti situati su 

 uno stesso piano «... Questo sarà precisamente il piano cercato, 



(*; Intendo per relè la forma di spazi e piani), che ha per sostegno una 

 retta. iSel lavoro accennato sul principio si vedranno studiate in particolare 

 iuUe le varietà cubiche generabili mediante tre reti projettive. 



