614 E. BERTINI - SULLA SCOMPOSIZIONE ECC. 



gati rispetto alla quadrica stessa. Adunque due punti corri- 

 spondenti qualunque di S\ , S,' sono armonici rispetto ad 0, w. 

 Ora, se sono 1^ , 2^' gli spazi di piani aventi per sostegni gli 

 spazi polari di S,,, S^\ è evidente che quei due spazi 2^, , 1,1 si 

 corrispondono (Ricerche, n" 2) ed hanno per piano di prospet- 

 tiva il piano w ( passante per S,^_, ) , due piani corrispondenti 

 di 1,, , ^;/ essendo pure armonici rispetto ad 0, o). 



Ciò premesso, se alla omografia considerata aggiungasi una 

 proiezione della quadrica dal punto 0, si otterrà una nuova omo- 

 grafia , nella quale S/^ e Ij, sono spazi fondamentali. Infatti è 

 manifesto , che sono spazi di punti e piani uniti : inoltre S,^ non 

 può essere contenuto in uno spazio superiore di punti uniti , 

 perchè il punto è centro di prospettiva di S|^ , S,l e non di 

 altre coppie di spazi corrispondenti ( ad h dimensioni ) passanti 

 per aS';,_i (Sua Nota citata: Sugli spazi ecc.). Si noti poi che S,^, 

 oltre ad avere il sostegno di 1,^ per spazio polare, ha Ij^ anche 

 per spazio coniugato nella detta nuova omografia. Il che risulta 

 dall' osservare che i due punti A, A' e, quindi Sf^, S/^' sono 

 esterni alla quadrica : donde segue che S|^ , nella nuova omografia, 

 deve corrispondere ad una radice =t 1 e di conseguenza deve avere 

 per spazio coniugato lo spazio 2^ di cui il sostegno è lo spazio 

 polare di /S'^ {Ricerche, n° 2). Alla nuova omografia può quindi ap- 

 plicarsi il ragionamento fatto per la primitiva, e cosi di seguito, fino 

 a che si giunga ad una omografia con uno spazio fondamentale 

 >S'„_, cioè ad una proiezione. Si conclude che : — Una omografia, 

 che trasforma una quadrica in sé stessa e che possiede uno 

 spazio fondamentale /S^_, corrispondente ad una radice ± 1 , 

 è equivalente (qualsiasi il numero n) ad n — h-{-\ proiezioni. 



V {n-h){n-h-\- 1) . V . r • • • 



— Vi sono oo gruppi di tali proiezioni. 



Li 



Essendo h==.\ per una omografia generale qualunque quando 

 n è pari e per una omografia generale di 2* specie quando n 

 è dispari, si ha in particolare che ciascuna di tali omografie 

 equivale ad n proiezioni. 



Kestano cosi dimostrate simultaneamente l'asserzione del Voss 

 e il teorema del n° 5 delle Sue Ricerche: e, come Ella rico- 

 noscerà facilmente, non occorre qui (come nel detto n° 5) al- 

 cuna considerazione al limite, potendo essere qualsivoglia il gruppo 

 caratteristico relativo alla radice rt 1 considerata. 



Pavia, 8 Giugno 1887. 



