OMOGRAFIE 653 



SU una curva razionale in cui due punti si corrispondono in 

 doppio modo è necessariamente una involuzione ; ma i risultati 

 analitici che abbiamo dedotti ci servono a mostrare che, viceversa 

 dando su C una proiettività della forma (I) o (II) resta deter- 

 minata una omografia non degenere Q. che muta C in se stessa. 

 In vero, considerando p. e. la (I) , di quattro punti «, , w^ , 

 Wi, co, , situati in un piano n, i corrispondenti sulla curva sono 



h ' b h h . // 

 oj, , Wj , <i)3 , (lì, : e questi, in grazia del fattore — 



e e e e ^ r' 



che si presenta in tutti i termini , verificano la condizione di 

 stare in un piano, come sapevamo (n.° 1). Dunque Tomografia (I) 

 sulla curva fa corrispondere ad un piano n dello spazio un piano 

 unico n\ e viceversa. Inoltre, considerando i quattro piani -, . 

 T^n ^3 5 ^4 > che escono per un punto P e sono osculatori alla 

 curva, siccome i punti di contatto di essi sono in un piano r 

 che passa per P (^) , i quattro piani ;:/, . . . , n^' corrispondenti 

 di quelli avranno i loro punti di contatto nel piano ;:' corri- 

 spondente di ù , e perciò concorreranno in un unico punto P 

 di rJ. Sicché ad ogni punto P corrisponde anche un unico punto P'. 

 Si può mostrare che questo avviene in modo che, quando un punto 

 ed un piano si appartengono, il punto ed il piano corrispondente 

 si appartengono ancora ; dunque le coppie - n' di piani e le 

 coppie PP di punti così corrispondenti costituiscono un'unica 

 omografia dello spazio, la quale contiene la (I), e perciò tra- 

 sforma C in se stessa (**). 



Un analogo ragionamento si farebbe se invece della (I) si 

 considerasse la (li). Si hanno dunque due serie distinte di omo- 

 grafie che mutano la curva in se stessa, in corrispondenza della 

 (I) e della (II). Quella in corrispondenza della (II) sono tutte 

 involutorie, e di quelle in corrispondenza della (I) una sola è 

 involutoria (n."* 4). Studieremo più vicino (§ II e § III) queste 

 due serie di omografie, ma in primo luogo stabiliam ) le for- 

 mule che le definiscono. 



(*) Cremona, loc. cit. 



[**) 11 ragionamento ora fatto avrebbe potuto essere evitato, e si sarebbero 

 potute stabilire direttamente in base alle ;^I) e (li le formule (5) e (0); ma 

 esso ci mostra che ciascuna delle omografie rappresentate da queste formule 

 muta in sé stessa la polarità nulla in cui ad ogni punto della curva è cor- 

 rispondente il piano osculatore in esso; cosa di cui si ha bisogno nel n.° 12, 



