OMOGRAFIE 057 



i punti di uno stesso ciclo si distribuiscono per terne sopra /.• ge- 

 neratrici di un medesimo iperboloide, e formano su queste altret- 

 tanti cicli dell'omografia ciclica di 3,° ordine D ='Q,„ (*) 



" (n) [iì \ /• 



Quando n = Ak i punti di uno stesso ciclo si distribuiscono 

 quattro a quattro in k piani che passano per la retta /" e for- 

 mano su questi altrettanti cicli dell'omografia ciclica Q i^ Q , , v , ecc. 



5. Le omografie della seconda serie sono involutorie, siccome 

 abbiamo avvertito al n° 2, e sono inoltre assiali. Per ognuna di 

 esse gli assi sono le due rette // , h' rappresentate dalle equazioni : 



ax^—d'^Xf^^^^, ax^-{-dXi=::0 ...(7); 



a^o;,— f?*A'^= , ax^ — dx^=^0 ...(8): 



Queste rette si appoggiano alla /" rispettivamente nei punti: 



x,= d\ x^=0, .1-3 = 0, x=a^; x,= — d\ x.^=0, x^^=0, x.-~a, 



ed alla /"' nei punti: 



x^:=^0 , x^= — d, X3 = a, x^=:a ; 



e perciò separano armonicamente entrambe le coppie di rette dd 

 e gg ; cosa che del resto dovevamo aspettarci dovendo essere 

 queste coppie di rette coniugate nella involuzione di assi li, li ('^*). 

 Se dalle equazioni (7) e (8) noi eliminiamo a e d, noi otte- 

 niamo il luogo di tutte le coppie di rette It, //. La elimina- 

 zione ci conduce alle superficie 



(*) In generale un ciclo qualunque di fl(ii) è sempre contenuto in una 

 curva della stessa specie della curva C, e che ha comuni con questa i punti 

 E, F, le tangenti d, d' ed i piani stazionarii s, -j. Ciò risulta dal fatto che 

 due cicli qualunque di Q{„) sono sempre due poligoni omografici in una 

 omografìa che muta n(ii) in se stessa, ed un ciclo di cui un punto è sulla C 

 sta per intero su questa. Ciò è anche d'accordo col fatto comune a tutte le 

 omografìe cicliche non assiali, che cioè ogni ciclo di una tale omografìa è 

 sempre contenuto in un'iperboloide o in una coppia di piani (che possono 

 pure coincidere) come dimostrò Lùroth nella sua memoria : Das imàginare 

 etc, Malh. Ann., t. 13, 



(**) Di vero tale involuzione muta la curva in se stessa e scambia tra 

 loro i punti E, F ed i piani e, y (n. 1); perciò scambierà fra loro anche Je 

 rette d, d' e le rette g, g'. 



