OMOGRAFIE 059 



7. Da questa proprietà si ricava facilmente che viceversa 

 ogni omografia della serie (I) si jptiò in infiniti modi decom- 

 porre nel prodotto di due omografìe di una stessa serie; e che 

 ogni involuzione della serie (II) si può in infiniti modi de- 

 comporre nel prodotto di due omografìe di serie diverse. 



Di vero, se 0, è un'omografia della serie (I) ed Q^ un'omografia 

 della stessa serie o di serie diversa, ponendo iiT^ 0,Q^ ...(3), 

 sarà A'', pel teorema precedente, o un'omografia della serie (I) 

 o un'involuzione della serie (lì); moltiplicando perciò a sinistra 

 la (3) per tì~', o anche a dritta per iì~' nell'un caso e per 0, 

 nell'altro, noi otteniamo: 



Ù, = 9.r'K e anche Q, = ^Qr' , 



Q. = ^0, ; 



e queste relazioni, poiché una omografia qualunque e la sua in- 

 versa appartengono sempre ad una medesima serie , dimostrano 

 quanto abbiamo asserito. 



In particolare la J (n." 4 ) è l'unica involuzione, se si ec- 

 cettua l'omografia identica, che si possa in infiniti modi decom- 

 porre nel prodotto di due omografie di una stessa serie ; perciò 

 vi è un modo solo come distribuire le omografie di ognuna delle 

 serie in coppie tali che il prodotto delle omografie di ogni coppia 

 sia involutorio. Come si costruiscano queste coppie risulta già 

 dal ragionamento che ora abbiamo fatto , ma quando si tratti 

 di involuzioni della serie (II) esse si costruiscono assai più facil- 

 mente osservando che gli assi di due involuzioni di questa serie, 

 le quali hanno per prodotto la J", hanno i medesimi punti di 

 appoggio sulle rette /', f . 



È pure a notare che risulta da quanto si è detto che una 

 qualunque delle omografie che mutano la curva in se stessa si 

 può sempre decomporre, ed in infiniti modi, nel prodotto di due 

 omografie assiali che hanno la stessa proprietà {*). — Siccome 

 un'omografia che muta la curva in se stessa, muta in se stessa 

 la serie delle trisecanti di essa, cioè delle generatrici dell'unico 

 iperboloide passante per la curva, così tale risultato si trova in 



(*) Quando l'omografia appartiene alla serie (II) una delle omografie 

 assiali componenti sarà sempre necessariamente la J, o una delle omografie 



cicliche n , fi (n- 4}. 



(3)' (3) ^ 



