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accordo colla proprietà comune a tutte le omografie che non 

 alterano la serie delle generatrici di un iperboloide, di potersi 

 cioè decomporre nel prodotto di due omografìe assiali aventi la 

 stessa proprietà (*). 



8. Se mediante un'omografia 0, che muta C in se stessa, 

 si trasforma un'omografia 0^ che pure muta C in se stessa, sic- 

 come ad una coppia di punti corrispondenti in Q^ situati sulla 

 curva corrisponde, mediante i2, , una coppia di punti situati su 

 questa, l'omografia Q.\ , trasformata di 0^ , muterà anch'essa C 

 in se stessa ; e perciò apparterrà all'una o all'altra delle serie (I), 

 (II) (*^). Come poi ù\ è involutorio solamente se lo è D^, e 

 quando è Ù^^J è pure Q.\^Ù^ (n.° 9), cos'i abbiamo che ogni 

 omografia la quale non altera la curva C non altera neppure 



-alcuna delle serie (1), (II). 



9. È importante di studiare anche più da vicino le relazioni 

 che ligano le omografie delle due serie , ed tal uopo conviene 

 premettere il seguente teorema del quale noi faremo anche uso 

 in seguito. Esso ha luogo fra corrispondenze univoche in varietà 

 qualunque, e perciò lo enuncieremo in tutta la sua generalità. 



Allorcliè due corrispondenze univoche C, , C^ sono involu- 

 torie, la corrispondenza prodotto 0, C^ è trasformata nella sua 

 inversa da ciascuna delle corrispondenze date. 



A A 



In vero, si abbiano in C, le corrispondenze .' y> ' ' • ' ®^^ 



A^ -t>2 



T> TD 



in C.^ le corrispondenze ' ^ . . . , si avranno allora nel pro- 



A,A 



A A 



dotto C, (7^ le corrispondenze / a • ■ - •> ^ poiché C,, C^ sono 



A^ A^ 



Tt 



involutorie, anche l'altra — ?. Ora, trasformando C, C^ mediante C, 



(o CJ, la coppia qualunque A^A^(oJB^B)à\C, O^ viene trasfor- 

 mata nella coppia B^B, (o A^^A^) di C^C,; e ciò prova l'asserto. 



(*) Klein, Math. Annalen , t. IX, pag. 188, citato dietro la citazione di 

 Stephanos « Mémoire, eie. », 1. e. Vi è di questo teorema una elegantissima 

 dimostrazione geometrica nell'opera più volte citata del prof. Sannia. 



(**) Questa proprietà della omografia Oj' risulta anche in conseguenza del 

 teorema del n. 6, perchè fl,' non è altro che il prodotto di Hj"* per n^n, , 

 vale a dire che si ha fìg'^n,— 'OgO^ . Siccome poi n,'— 'E.^i~' ^2~*^i » ^^^^ 

 se iì^ è involutoria, cioè se n^^ng"', sarà pure s^^' = i^^'~'', cioè anche n^ 

 sarà involutoria. 



