OMOGRAFIE COI 



Come corollario di questo teorema noi abbiamo che C, , C^ , 

 sono pernmfahili {*) col loro prodotto, e quindi anche fra loro, 

 quando questo prodotto è involutorio ; perciò, immaginando che 

 C, , Cj siano due involuzioni della serie (II), e ricordando il teo- 

 rema del n. 7, noi concludiamo: 



1." che un'involuzione qualunque delia serie (li) muta 

 nella sua inversa una omografia qualunque della serie (I), e 

 quindi in se stessa la J. 



2.° che due involuzioni qualunque della serie (II) sono 

 permutahili solo quando hanno per prodotto la J. 



Dal 1.° di questi due teoremi ricaviamo poi il seguente: 



Bue omografie qualunque della serie (I) sono sempre per- 

 mutai) ili. 



Di vero, siano 0, , Q^ due omografie qualunque della serie (1), 

 e si decomponga Q^ , p. e. , nel prodotto J", J^ di due involuzioni 

 della serie (II) (n.° 7). Poiché, in base a quel teorema, J", muta 

 ù, in Q,~' e J^ muta ~' in i}, , il prodotto J^Jj, non altererà 

 O, ; e quindi la proposizione è così dimostrata. — Questa propo- 

 sizione e le precedenti completano quanto si è detto nel n. 8 (^■'"). 



§ IV. 



Correlazioni die mutano la cui va nella sviluppabile 

 elei piani osculatogli. — Due serie distinte di tali 

 correlazioni. 



40. Occupiamoci ora delle correlazioni che mutano la curva C 

 nella sviluppabile S dei suoi piani osculatori, e sia K una qua- 



(*} Due corrispondenze univoche qualunque C,, C^ sono à&iie permutabili 

 (échangeables) quando è indifferente eseguire il prodotto C, C^ o il prodotto 

 CjC,, cioè quando è C^ C^ = C^C^ . Ora questa condizione è verificata quando 

 C^ muta in se stessa C^. 



(**) La proprietà dimostrata per le omografie della serie (I) risulta anche 

 in base al seguente teorema, di cui, allorché il tetraedro degli elementi 

 uniti è reale, si trova una assai elegante dimostrazione nell'opera citata del 

 prof. Sannia, pag. 258: Due omografie quaternarie che hanno lo stesso tetra- 

 edro di elementi uniti sono permutabili. — A meglio studiare la distribuzione 

 delle omografie delle serie (I), (li; , anche quest'altro teorema è utilissimo: 

 Ogni omografìa assiale i cui assi siano due rette unite sghembe qualunque di 

 una data omografìa, e permutabile con questa (V. Sannia , op. cit., pag. 29 e s.). 



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