(J(j2 ALFONSO DEL RE 



lunque di tali correlazioni. Poiché K muta C in 8, ed un'omo.- 

 grafia qualunque della serie (I) o (li) non altera S (n. 3), 

 il prodotto K i2, che evidentemente è un'altra correlazione, mu- 

 terà pure C in S. Dunque, conoscendo una correlazione che 

 muti la curva nella sviluppahile dei suoi piani osculatori se 

 ne otterranno infinite altre componendo quella con le omografie 

 (I), (II). — Ora, viceversa, se è K' un'altra qualunque delle 

 correlazioni che fanno corrispondere a C la sviluppabile S, tra- 

 sformando S col prodotto K~' K', questa sviluppahile rimarrà 

 invariata, poiché la trasformazione K~' K' si esegue prima ap- 

 plicando K~' che muta S in C, e poi applicando K' che muta 

 C in S. Dunque (n. 10) K~' K' è una omografia di una delle 

 serie (I), (li). Indicandola con 0, e componendo K con fì noi 

 otteniamo : 



KQ = K{K-' K') = KK-' K'= K' , 



la quale relazione prova che le correlazioni ottenute in base al 

 teorema precedente sono tutte le correlazioni che noi andiamo 

 cercando. 



\ \ . Kisulta -subito da una tale proprietà che , essendo già 

 nota una 13 di tali correlazioni , vale a dire la polarità nulla 

 in cui ad ogni punto della curva é coniugato il piano osculatore 

 corrispondente (Ckemona 1. e), noi ne abbiamo di esse due serie 

 diverse : le une risultanti dalla composizione di ^ colle omo- 

 grafie (I), le altre risultanti dalla composizione di ^ colle omo- 

 grafìe (II). Diremo le prime correlazioni (I), le seconde corre- 

 lazioni (II), Queste due serie di correlazioni sono fra loro 

 contraddistinte dai caratteri seguenti: 



1.° La polarità nulla '^ è una correlazione della serie (I). 

 Infatti dalle formule (5) e (6) si rileva che l'omografìa identica 

 deve considerarsi solamente come una omografìa della serie (I). 

 2° Le correlazioni della serie {II) sono tutte polarità: 

 fra le correlazioni della (J) una sola ve ne è polare, oltre 

 la ^ , ed essa è pure polare nulla. 



In vero, risulta dal ragionamento fatto nel n." 2 che un'omo- 

 grafia qualunqiie delle serie (I) , (II) muta in sé stessa la pola- 

 rità '^ . Dunque, in base al teorema generale, dimostrato nel \\ 9, 

 facendo i prodotti di ^ per le involuzioni della serie (II) , e per 

 l'unica involuzione J della serie (I) , questi prodotti saranno 

 involutorii, vale a dire saranno delle polarità. Né alcun' altra 



