OMOGRAFIE 667 



quadtiche fondamentali si sovrapiwnyono^ si ottenyono coìhjjo- 

 nendo la 'polarità 'ì? colle omografìe cicliche Q~!, ^7'; 2." tali 

 correlazioni hanno per quadrato Q,,. e Q.~ e per prodotto la 

 involuzione J; 3." il cubo dell'una è la polarità ^, quello del- 

 l' altro la polarità W \ 4.° il quadrato della prima per la se- 

 conda dà l'inversa di questa, ed il quadrato della seconda per 

 la prima dà %' ; 5.° la loro sesta potenza <■ V omografia iden- 

 tica. Ecc. , ecc.. 



\\. È da osservare che indicando con I^ l'unico iperboloide 

 che passa per la curva C, e con I^ l'unico iperboloide inscritto 

 nella sviluppabile S, I^ I^ è una coppia della involuzione di cui 

 è parola nel n." precedente. I^ ed I^ sono inoltre quadriche cor- 

 rispondenti in una qualunque delle correlazioni (1), le quali come 

 facilmente deducesi dal corrispondersi di I^ /, in doppio modo , 

 determinano nel fascio di queste due delle rivoluzioni di qua- 

 driclie aventi tutte 1^ I^ per coppia comune. Tali involuzioni 

 sono perciò armoniche (*) a quella di elementi doppi 7^7, , vale 

 a dire, considerando questa come trasformazione del fascio in se 

 stesso, applicata su le altre le rimane inalterate. 



io. Le quadriche fondamentali delle polarità (II) hanno 

 l'equazione 



d^ X !"+ 2ad^x^^ -2 a^ dx^— a' x.^ = , ... (11), 



perciò, se si pone « = , esse saranno le quadriche polari dei 



punti ?/, : ìj^ : y^ : y,^ = o/' : oj' : 'jì : 1 rispetto alla superficie 

 del 3" ordiue : 



S^'^ = x,'-2x,'+2x;-x^' = .. . (12) . 



Ma tali punti sono quelli della curva C, dunque abbiamo 

 il teorema: Le quadriche fondamentali delle polarità che mu- 



(') Due involuzioni binarie sono dette armoniche quando, trasformando 

 l'una mediante l'altra, si ottiene di nuovo l'involuzione trasformata. La re- 

 lazione di armonia per due involuzioni corrisponde all'annullarsi dell'inva- 

 riante bilineare di queste. — V. Segre, Sulle coppie di elementi imrnaginarii 

 nella Geometria proiettiva sintetica Acc. di Torino, 188G. — Sur les bomo- 

 graphies binaires et leurs faisceaux. Giorn. di Creile, voi. 100. Anche il prof. 

 Sannia nella sua opera più volte citata ha ampiamente trattato delle invo- 

 luzioni armoniche. 



