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lano la curva nella sviluppabile dei suoi piani osculatori sono 

 le quadriche polari dei punti della curva rispetto alla super- 

 ficie del 3° ordine, definita dall'equazione (1 2) (*). Ed ancora : 

 Le quadriche fondamentali delle polarità che mutano la 

 curva nella sviluppahile dei piani oscillatori sono le quadriche 

 polari dei piani tangenti di questa rispetto alla superficie di 

 3' classe 



2(3)^ 4 M,^+ «,'+ ui+ 4 ^t/ = {**) ... (1 3). 



Questa seconda proprietà, sospettata in grazia della perfetta 

 reciprocità fra C ed /S, è stata rinvenuta cercando l'equazione 

 in coordinate di piani delle quadriche (11), e poi confrontando 

 questa con le equazioni Wj : u,-,: u^: u^= — 1 : 2 co : — 2 w^ : w* 

 della sviluppabile S. 



È bene di notare che le superficie /S'^^' e 2'^^ sono Tuna la 

 figura polare reciproca dell'ai tra rispetto alla superficie quadrica 



Xj — t-à X^ -\- ^ X^ — X, — V . 



16. Se cerchiamo della superficie /S^^^ i punti comuni colla 

 curva C, i parametri di questi punti sanno le radici della equa- 

 zione del 1 2° grado : 



(w^-l)^(w^+l) = , 



e perciò ve ne saranno 



tre coincidenti nel punto di parametro 1 



» » » a — rad. cub. imag. di 1 



» » » Ci 



Gli altri tre saranno invece distinti e si otterranno dalle radici 

 dell'equazione w^ + 1 = 0. 



(*; È bene di notare che tali quadriche sono quadriche polari dei punti 

 della curva non solo rispetto alla 5(3), ma anche rispetto a ciascuna di quelle 

 dei due sistenni co*, che si ottengono dal trasformare S(^) mediante le omo- 

 grafie della serie (I), (II). 



**) A questo teorema va fatta un'osservazione analoga a quella fatta sul 

 teorema precedente; vale a dire esistono due sistemi oo' di superficie di 3* 

 classe , rispetto a ciascuna delle quali ha luogo la proprietà espressa dal 

 teorema. Tali superficie sono quelle che si ottengono dal trasformare la S (3) 

 colle omografie delle serie (I , (III. 



