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In siffatte ricerche si possono seguire due indirizzi, appunto 

 come in quelle della geometria ordinaria. L'uno di essi riguar- 

 derebbe quelle proprietà che son comuni a tutti gli enti di data 

 dimensione e corrisponderebbe a quello che informa la teoria 

 generale delle curve e superficie sì algebriche che trascendenti, 

 specialmente la geometria infinitesimale. Seguendo quest'indirizzo 

 si esaminerebbero i caratteri di quegli enti rispetto alle rette 

 tangenti, ai contatti mutui, ed in particolare con curve e super- 

 fìcie, alle curvature , ecc. Molto utile per tali questioni (come 

 pure per quelle di cui diremo poi) riescirebbe la rappresenta- 

 zione degli enti in discorso su altri enti composti di punti tutti 

 reali. Per avere una tal rappresentazione basta evidentemente 

 estendere il procedimento con cui si rappresenta una variabile 

 complessa sul piano reale, cioè rappresentare il punto complesso 

 dello spazio mediante quel punto reale di uno spazio a 6 di- 

 mensioni che ha per coordinate le parti reali ed i coefficienti di 

 i(=Y — l) nelle tre coordinate non omogenee di quel punto com- 

 plesso. Ma di questa rappresentazione , che facilmente si può 

 tradurre geometricamente, non che di altre che vi si collegano 

 e che per certi riguardi sono preferibili ad essa , tratterà un 

 altro lavoro. 



L'altro indirizzo d'investigazioni corrisponderebbe per ana- 

 logia a quello della geometria projettiva delle forme algebriche 

 e potrebbe trovare importanti applicazioni anche in questa : il 

 saggio attuale rientra più specialmente in esso. Come analoghi alle 

 curve, superficie, ecc. algebriche si posson considerare quegli enti 

 (che per brevità chiamerò iperalgebrici) i quali nelle rappre- 

 sentazioni accennate hanno per imagini delle varietà reali alge- 

 briche, vale a dire quegli enti che son definiti da una o più 

 equazioni algebriche fra le parti reali ed i coefficienti di * nelle 

 coordinate del punto generatore. Ogni relazione di tal forma si 

 può subito ridurre ad un'equazione algebrica fra le coordinate 

 del punto ed i numeri complessi-conjugati, la quale anzi coll'in- 

 troduzione di coordinate omogenee x t si può rendere omogenea 

 rispetto alla x l ed omogenea rispetto alle loro coniugate x i {*). 



(*) La locuzione « coniugato » sarà sempre usata in questo lavoro in un 

 solo significato: quello consueto relativo agli enti complessi. Se a iudica un 

 numero complesso qualunque, a indicherà il suo coniugato. 



