UN NUOVO CAMrO DI RICERCHE GEOMETRICHE 183 



Viceversa abbiasi un'equazione di questa natura fra le x e 

 le x: 



(1)... f(x,x) = , 



e sia n il suo grado rispetto alle x ed ri il suo grado rispetto 

 alle x . È chiaro che una trasformazione collineare qualunque 

 non muterà ne n, ne ri, sicché questi due numeri saranno due 

 invarianti (assoluti) corrispondenti in questa nuova teoria al noto 

 invariante delle superficie algebriche: l'ordine. Si osservi però 

 subito che fra i due ordini n , ri non vi è per 1' ente geome- 

 trico iperalgebrico da fare distinzione alcuna, perocché, indicando 

 con f quella funzione che si ottiene dalla f sostituendo a ciascun 

 coefficiente il numero coniugato, l'equazione (1) equivale alla se- 

 guente, sua coniugata: 



(2) .. f(x,x) = Q (*). 



In generale un'equazione (1) [o (2)] si scinde in due equa- 

 zioni a coefficienti reali fra variabili reali , ed in conseguenza 

 stacca dalla oo 6 dei punti dello spazio un ente che è al più co 4 . 

 Però se le equazioni (1) e (2) non ne formano che una sola 

 (reale), il che accade quando la forma (1) (moltiplicata all'oc- 

 correnza per un fattor numerico) ha tutti i termini coniugati fra 

 loro a due a due (sicché n, ri sono eguali), — laonde essa non 

 ammette che valori reali, qualunque siano i valori delle variabili, 

 e si dirà quindi una forma iperalgebrica reale, — il luogo dei 

 punti soddisfacenti alla (1) potrà essere un ente co 5 (**). Come 



(*) Ne segue che in un certo senso lo studio analitico di una forma od 

 equazione iperalgebrica (1) non coincide più completamente (come accade per 

 le forme algebriche) con lo studio dell'ente geometrico che essa rappresenta: 

 poiché questo può essere nello stesso modo rappresentato da forme od equa- 

 zioni diverse da quella. 



(**) Diciamo « potrà essere un ente co 5 », ma potrebbe anche essere di 

 minor dimensione: a quello stesso modo che un'equazione reale in coordi- 

 nate di punti può esser soddisfatta da co 2 punti reali costituenti una super 

 ficie reale, od anche solo da co 1 punti reali (di una curva), ecc. In particolare 

 può la forma f{x, x) {definita) non annullarsi senza l'annullarsi di tutte 

 le variabili (tale sarebbe, ad esempio, la forma 2 l a l x l x l quando tutte le 

 costanti a t fossero reali e con lo stesso segno). — Se l'equazione (1) rap- 

 presenta effettivamente una co 5 questa può servire a dividere gli co 6 punti 



