UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 185 



svolga a somiglianza di quella degli enti algebrici (*) è natu- 

 rale di cominciare dallo studio degli enti dei primi ordini , per 



(*) È possibile un tale sviluppo, cioè una teoria invariantiva (proiettiva) 

 degli enti iper algebrici • ed in essa si possono usare strumenti analoghi a 

 quelli adoperati nell'ordinaria teoria invariantiva degli enti algebrici , per 

 esempio una notazione simbolica delle forme da cui facilmente si riconoscano 

 i caratteri invariantivi. Ne faccio qui un cenno in generale riserbando ad 

 altre note a pie di pagina alcuni esempi particolari che ci si presenteranno 

 naturalmente nel seguito di questo Saggio. 



Una forma iperalgebrica qualunque di grado n nelle a? e di grado n' 

 nelle x si può rappresentare col simbolo 



fl >*[=( 2a i a? i) w ( 2 ^r]' 



convenendo che negli sviluppi si dia significato di coefficienti effettivi non ai 

 singoli simboli a { od a ( , ma solo ai prodotti di n fra le a ed n fra le a — 

 Ciò posto, considerando un numero qualunque di tali forme (distinte, o co- 

 munque coincidenti fra loro) 



n _ n' m -m' a _ »' 



a a _ , b b _ , e u Z. , 



XX XX XX 



si vede subito che sarà un loro invariante o covariante (nel senso che ora 

 fisseremo) ogni forma rappresentata da un prodottodi simboli a x , b _ . . .; 

 a-, ~fr r , . . . , (ed anche uà,...) non che di determinanti (ab\ . . . , (ab), . . ., 

 se ai è nel campo binario, oppure abe), . . . ,(abc), . . . , se si è nel campo terna- 

 rio, ecc.; purché nel prodotto così composto le a compaiano precisamente 

 al grado n, le à al grado n', ecc. Una trasformazione lineare (per le x, ac- 

 compagnata dalla trasformatone coniugata per le x) delle forme date avrà 

 per effetto di moltiplicare quella loro forma invariantiva per una potenza 

 del determinante della trasformazione e per una potenza del suo coniugato 

 indicate risp. dal numero di determinanti delle a, b,. .. e da quello di deter- 

 minanti delle a,,b , . . .che compaiono in quel prodotto simbolico. — (Analo- 

 gamente si ottengono altre specie di forme invariantive; e poche modifica- 

 zioni allo cose dette bastano per applicarle al caso in cui fra le forme 

 fondamentali vi siano delle corrispondenze o connessi iperalgebrici). 

 Nel caso di una forma reale 



f(x, x)i=:a a _ 



XX 



alle convenzioni generali bisogna aggiungere che ogni prodotto di n fra le 

 a ed n fra le <ì prende il valore coniugato se, senza far mutamenti d'indici, 

 le a si cambiano in a e viceversa. Nel sistema invariantivo di una tal forma 

 si presentano subito come degne di considerazione le polari successivo 



n—r _ n—r' r r' 



a a _ a ó_ , 



x x y y 



fra cui quelle che corrispondono a valori uguali di r, r' sono reali. Sono 

 pure notevoli quello polari del punto x per cui r od r' è nullo: esse rappre- 



Mti della R, .\ccad. - Parte Fisica, ecc. — Voi. XXV. lì 



