UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 187 



definire le corrispondenze proiettive in modo che esse non mu- 

 tino completamente natura, sicché, ad esempio, si rappresentino 

 ancora analiticamente con trasformazioni lineari , e si determi- 

 nino ancora perfettamente con lo stesso numero di coppie di 

 elementi omologhi. Fu l'acuto ingegno di Staudt che primo si 

 accorse di ciò e che (B. e , 215, 22(3) aggiunse (perle forme di 

 specie superiore, e sostituì per quelle di V specie) alle defini- 

 zioni delle projettività la condizione che due tetradi (Wurfe) 

 omologhe siano della stessa specie rispetto al verso. — Che cosa 

 egli intenda con ciò si vede subito, oltre che con una qualun- 

 que delle rappresentazioni reali già ricordate degli elementi com- 

 plessi di una forma di l a specie, ricorrendo al valore della 

 tetrade (B. e , 399) o birapporto dei quattro elementi (*)': il coef- 

 ficiente di i in esso determina col suo segno o col suo annul- 

 larsi la specie della tetrade {neutra se quel cofnciente è nullo). 

 — Staudt osservò (B e , 225, 226) che se ad ogni elemento 

 di una forma si considera come corrispondente quello coniugato 

 della forma coniugata, la corrispondenza che così si ha presenta 

 tutti i caratteri sopra ricordati delle corrispondenze projettive , 

 cioè di mutare i gruppi armonici e le forme fondamentali (di 

 specie inferiore) in forme fondamentali , e pur non è una pro- 

 jettività. 



Ma questo fatto si presenta anche in altre corrispondenze. 

 Nel presente saggio vengono determinate e studiate tutte le 

 corrispondenze che, senz 1 essere projettive , hanno comuni con 

 quelle projettive i caratteri citati. Mentre le projettività non 

 alterano i birapporti, queste nuove corrispondenze li mutano nei 

 coniugati, cioè mutano di specie, riguardo al verso , le tetradi 

 non neutre. Per questa e per altre ragioni che vi si collegano e 

 che risulteranno meglio in seguito, ho chiamate le nuove corri- 

 spondenze antiprojettività (ant i col lineaz ioni od antireciprocità). 

 Esse hanno fra loro e rispetto alle projettività relazioni analo- 

 ghe a quelle che nello spazio hanno le simmetrie fra loro e 

 rispetto alle uguaglianze. Così l'applicazione successivo [prodotto) 

 di due antiprojettività dà una corrispondenza projettiva, mentre 

 un 'antiprojettività ed una projettività producono di nuovo un'an- 



(*) Questo numero (che proporrei di chiamare « birapporto » anzi che « doppio 

 rapporto » o« rapporto enarmonico » ) si può, grazie a Staudt, Klein e De 

 Paoli s, determinare senza valersi di misurazioni di lunghezze o d'angoli. 



