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tale introduzione (che poi si può prolungare indefinitamente) basti 

 qui questo cenno. 



Ho già detto fin dal principio che gli studi da farsi nel 

 campo descritto possono avere un' importanza tanto geometrica 

 quanto analitica. Terminerò questa introduzione osservando come 

 già in certe ricerche analitiche recenti si abbia un esempio par- 

 ticolare di applicazione di cose che qui si tratteranno geometri- 

 camente. Negli studi (specialmente in quelli particolari) sulle 

 funzioui di una variabile complessa le catene semplici descritte 

 da questa, cioè i circoli che le rappresentano nel piano o nella 

 sfera su cui la variabile vien distesa, sono usati frequentemente: 

 in particolare essi furono adoperati nelle ricerche sulle funzioni 

 che non mutano per un gruppo di trasformazioni lineari della 

 variabile, e specialmente in quelle sì generali e feconde del sig. 

 Poincaré sulle funzioni Fuchsiane e Kleiniane. La ragione della 

 loro utilità in quest'argomento consiste principalmente , se ben 

 si osserva, in questi due fatti : che una catena semplice divide 

 la forma di l a specie, vale a dire tutto il campo dei valori 

 complessi della variabile, in due parti, nello stesso modo che il 

 cerchio rappresentativo divide in due regioni il piano o la sfera ; 

 e che le trasformazioni lineari della variabile mutano le catene 

 in catene, cioè i cerchi imagini in cerchi. Ne deriva che i più 

 semplici fra gli enti che per due o più variabili (non omogenee) 

 corrispondono a quel che per una variabile sono le catene semplici, 

 per modo da soddisfare pure a due condizioni analoghe alle pre- 

 cedenti, vale a dire le iperconiche, le iperquadriche, ecc., dovranno 

 prestare utili servigi nelle ricerche sulle funzioni di due o più va- 

 riabili complesse, e specialmente su quelle che ammettono dei 

 gruppi di trasformazioni lineari per le variabili. Ed effettivamente 

 nelle ricerche sulle funzioni di due variabili complesse fatte in 

 questi ultimi anni dai sig. 1 Picard e Poincaré (*) e specialmente 



il numero delle soluzioni di questo sistema non dipenderà più soltanto dai 

 gradi delle varie equazioni, ma potrà anzi variare col mutar dei coefficienti: 

 e ciò in causa della realtà imposta alle attuali incognite. Si farà sparire 

 quell'inconveniente ammettendo che queste possano essere complesse e della 

 forma a -{- bj con a, b reali), indicando conj una radice quadrata di — 1 

 diversa da zzzi. Allora le variabili complesse assumeranno valori bicomplessi 

 della forma a + bj + ci + dij. All'introduzione analitica così fatta [che del 

 resto non è punto nuova) di tali numeri bicomplessi si può contrapporre in 

 Geometria una definizione puramente sintetica di elementi bicomplessi. 

 (*) V. particolarmente: Ada mathematica, V I, II, V, IX. 



