UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 191 



in quelle del primo sulle funzioni ch'egli chiamò iperfuchsiane, 

 si trovano usate le iperconiche , definite in modo diverso dal 

 nostro , cioè o analiticamente mediante le equazioni (3) e (4), 

 oppure mediante le varietà che le rappresentano nello spazio 

 reale a 4 dimensioni. Il sig. Picard si trova così condotto ne- 

 cessariamente a qualche ricerca sulla riduzione della (3) a forma 

 canonica, i cui risultati nella trattazione geometrica appariranno 

 evidenti (*). 



Torino, autunno 1889. 



Proprietà generali 

 delle corrispondenze antiprojettive. 



1. Le corrispondenze tra forme semplici di cui noi dobbiamo 

 anzitutto occuparci hanno comune , come già dicemmo , con le 

 corrispondenze projettive la proprietà di trasformare i gruppi 

 armonici in gruppi armonici. Se il campo geometrico si limita 

 agli elementi reali, questa proprietà caratterizza completamente 

 le projettività, ed il sig. Darboux potè dimostrare pel primo in 

 modo interamente rigoroso (**) il teorema (fondamentale per la 

 Geometria projettiva) di Staudt, secondo cui una corrispondenza 

 che goda di quella proprietà è pienamente individuata da tre 

 coppie di elementi omologhi. Ma se , invece di restringerci al 

 campo reale, consideriamo tutti gli elementi, tutte le forme, sì 

 reali che immaginarie, questa proposizione cade e si ha invece 

 che da tre coppie di elementi omologhi sono determinate due 

 corrispondenze dotate di quella proprietà (con una certa limi- 

 tazione (***)). Per dimostrare ciò basta riprendere il ragionamento 

 analitico del sig. Darboux e farvi poche aggiunte. 



Si rappresenti analiticamente ogni elemento dell'una forma 

 assumendo come sua coordinata il birapporto che esso determina 



(*) Aggiungerò che le forme del tipo (3) con le condizioni (4) e coi coef- 

 ficienti (complessi interi si sono pure già introdotte nella teoria dei numeri 

 grazie ai sig.' Hermite, PiCARD'ed altri. 



(**) Sur le théorème fondamental de la geometrie projectite. Mathematische 

 Anualen XVII, p. 55. 



(***) V. le note seguenti. 



