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coi tre elementi dati nella forma stessa ed analogamente si rap- 

 presentino gli elementi dell'altra forma. Chiamando x la coor- 

 dinata di un elemento qualunque della 1* forma , quella del- 

 l'elemento corrispondente si potrà indicare con op (x) , dove <p è 

 una funzione (nel significato più generale di questa parola) avente 

 un valore ben determinato per ogni valore della variabile com- 

 plessa x. Per determinare questa funzione, e con ciò la corrispon- 

 denza tra le due forme, abbiamo negli elementi fondamentali 

 dei due sistemi di coordinate tre coppie di elementi omologhi, 

 le quali danno : 



(1). .. ©(0) = 0, ?(1) = 1, c(oc) = oo; 



ed inoltre la proprietà che a gruppi armonici corrispondono gruppi 

 armonici , la quale conduce immediatamente . come osserva il 

 sig. Darboux, alle due equazioni funzionali 



(2). . . y(x + y)=f(x) + y [y) , 



(3)... fWMfWf- 



Da queste e dalle (1) si trae subito, come nota ancora il chiar." 

 geometra francese, che per valori reali e razionali di x si ha : 



(4) . . . » {x)—x . 



In conseguenza se ammettiamo la continuità della corrispondenza 

 e quindi della funzione ->. almeno pei valori reali della variabile (*), 

 la (4), varrà, al limite, per tutti i valori reali di x. Ma la (3) 

 ci dà inoltre per x = bi: 



[<P(b*)Y = 9 (-i/) 



'*) In forza della (2, basterebbe ammettere la continuità di f (x) per un 

 tratto reale e finito dato 'ad arbitrio per x, oppure anche soltanto la realtà 

 di f(x] per un tal tratto. Probabilmente però anche questa condizione è su- 

 perflua e la continuità della corrispondenza considerata e quindi di ?.(x) per 

 tutti i valori complessi di x risulta già senz'altro come conseguenza della 

 proprietà di mutare i gruppi armonici in gruppi armonici. Ma questo fatto, 

 che per corrispondenze e funzioni ? reali fu dimostrato facilmente dal sig. 

 DabbOUX in base alle relazioni (1), (2), [3), non mi riuscì nel caso attuale di 

 provarlo in modo completo. 



