UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 193 



ossia, applicando nell'ipotesi che b sia reale la (4) ed estraendo 

 la radice quadrata: 



(5). . . o{bi)=±:bi . 



Nel 2° membro si dovrà prendere sempre il segno superiore, 

 oppure sempre il segno inferiore : vale a dire, se e indica pure 

 un numero reale, sicché: 



(5'). . . (ù(ci)= deci , 



il segno ambiguo di quest'uguaglianza sarà lo stesso che quello 

 della precedente, perocché dalla (2) segue: 



w (b i) + w (e i) = © [(b -+- e) i\ 

 = ±(b + c)i ; 



il che, confrontato colle (5), (5), prova appunto l'asserto. Ap- 

 plicando finalmente la (2) per x=a e y=bi, ove a e b sono 

 numeri reali qualunque, e valendosi delle (4) e (5), si ha: 



(6)... © (a-\- hi) = a-\-bi, 



oppure 



(7). . . <p(a + bi) =u — bi. 



Si hanno dunque nelle (6) e (7) due diverse soluzioni del 

 problema, poiché le corrispondenze definite risp. da quelle espres- 

 sioni soddisfano effettivamente, come subito si vede, alle condi- 

 zioni imposte. La corrispondenza rappresentata da (G) non è altro 

 che la projettività fra le due forme individuata dalle tre coppie 

 date di elementi omologhi. Invece la corrispondenza definita 

 da (7) è affatto diversa dalle projettività (*), e, secondo quanto 



(*) Ciò se si tien conto della possibilità di passare (per via di costruzioni 

 grafiche, movimenti, ecc.) dall'una forma all'altra. Ma non si distingue af- 

 fatto una proietlività da uri antiproiettività fra due forme se fra queste si 

 considerano solo le relazioni indipendenti da ogni passaggio che effettiva- 

 mente si possa eseguire dall'una all'altra. Invero, limitandoci per ora al caso 

 di due forme semplici, se gli elementi di queste si determinano risp. con le 

 coordinate a-f-èt, c-\-dj (ove t 2 zz/ 2 = — 1) , non è possibile senza un pas- 

 saggio (diletto od indiretto) dall'una all'altra forma fissare se sia /=i, oppure 

 J ' — — »; e però non si può distinguete la corrispondenza (6) dalla (7) — 

 Questo fatto è analogo a quanto accade per le uguaglianze e le simmetrie 

 nella geometria elementare. 



