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già si disse nell'introduzione , verrà da noi chiamata antipro- 

 jettività (*). 



(*) Al risultato di questo n° si può anche giungere in modo più geo- 

 metrico ricorrendo alla rappresentazione degli elementi delle due forme di 

 l a specie sui punti reali della sfera o del piano.'La condizione che a gruppi 

 armonici corrispondono gruppi armonici si conserva per le iraagini: quattro 

 punti armonici della sfera o del piano rappresentativo sono quattro punti 

 di un cerchio i quali su questo formino un gruppo armonico. Partendo da 

 tre punti qualunque con successive costruzioni di quarti armonici si otterrà 

 un sistema (armonico) d'infiniti punti del cerchio congiungente quei tre, sì 

 che, com'è noto, in ogni tratto del cerchio vi saranno infiniti di quei 

 punti. Ai punti di un cerchio costituenti un tal sistema corrisponderà me- 

 diante la data corrispondenza un analogo sistema di punti di un cerchio. Se 

 quindi si ammette la continuità della corrispondenza (la quale invece, come 

 già si disse, potrebbe essere dimostrabile) si potrà conchiudere che a tutti i 

 punti di un cerchio corrispondono i punti di un cerchio. Quindi la corri- 

 spondenza sulla sfera saia una collineasione ,• e quella sul piano sarà, se- 

 condo la denominazione del Mòbius, un'affinità circolare ( v. specialmente 

 « Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung », 

 Mòbius Werke, Bd. II, p. 243). Le trasformazioni collineari di una sfera in 

 se stessa, come le affinità circolari sopra un piano, sono di due specie, se- 

 condo che conservano inalterati gli angoli ovvero li mutano di segno (al che 

 corrisponde, ad es. per la sfera, il mutare in se stesso ciascuno dei due sistemi 

 di generatrici rettilinee oppure lo scambiarli fra loro). Da tre coppie di punti 

 omologhi è individuata, come si sa, una trasformazione di ogni specie. Ciò 

 dimostra il nostro teorema. — Si possono poi considerare le trasformazioni 

 di l a specie come rappresentanti delle proiettività e quelle di 2* come inda- 

 gini delle antiproiettività. 



Introducendo fin d'ora la locuzione « catena » di Staudt (di cui già si 

 parlò nell'introduzione e che nei cap. ; seguenti sarà usata continuamente) 

 si può (in forza di osservazioni precedenti) sostituire alla condizione della 

 continuità una più ristretta aggiungendo alla condizione di mutare i gruppi 

 armonici in gruppi armonici questa: che gli elementi dell'una forma costi- 

 tuenti un tratto finito di una catena abbiano per omologhi elementi di una 

 catena. Ma anche questa condizione potrebb' essere superflua. -- Lo Staudt 

 non incontra per le proiettività complesse questioni di tal natura perchè egli 

 non le definisce più, come fece per quelle reali e come noi qui ancora fac- 

 ciamo, ponendo a base la considerazione dei gruppi armonici. Egli mette in- 

 vece nella loro definizione la proprietà di mutar le catene in catene, la quale 

 contiene in se come conseguenza (R. e , 214) la trasformazione dei gruppi ar- 

 monici in gruppi armonici, come pure la continuità e conduce subito nelle 

 rappresentazioni suddette alle collineazioni della sfera ed alle affinità circo- 

 lari piane. Quindi se si considerano tutte le corrispondenze che mutano le 

 catene in catene, e se ne tolgono le proiettività, si avranno precisamente la 

 nostre antiproiettività. 



