UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 197 



di 4, oppure dì 5 elementi omonimi indipendenti (*) dell'una 

 forma si danno ad arbitrio gli elementi corrispondenti (pure 

 indipendenti). 



Inoltre dai risultati dei n. 1 prec. 1 si deduce che ogni cor- 

 rispondenza antiprojettiva muta le tetrodi in tetradi aventi 

 valori (birapporti) coniugati. Ed anche quelle proprietà delle 

 corrispondenze fra forme di l a specie relative ai loro prodotti, 

 che si son viste al n. 2, rimarranno valide per corrispondenze 

 fra forme di 2 a o di 3 a specie. Ne segue ad esempio, che una 

 potenza qualunque di un'antiprojettività fra due forme sovrap- 

 poste è una projettività oppure un' antiprojettività secondo che 

 l'indice della potenza è pari od impari (**). E l'altro fatto a cui 

 così si giunge, che mediante trasformazioni proiettive da forme 

 antiprojettive si deducono ancora forme antiprojettive, conferma 

 quanto già risultava dalla definizione delle antiprojettività, cioè 

 che la loro teoria appartiene a quella geometria che ha per 

 gruppo fondamentale di trasformazioni (***J il gruppo delle tra- 

 sformazioni projettive, vale a dire alla geometria proiettiva. 



Si noti ancora a questo proposito che se si prende invece 

 per gruppo fondamentale di trasformazioni quello che è deter- 

 minato dalle antiprojettività, gruppo che abbraccia oltre a queste 

 anche le corrispondenze projettive, si avrà una geometria che è 

 contenuta in quella projettiva, ma che non le equivale comple- 

 tamente (****). 



6. Nell'introduzione fu già notato come allorquando ad ogni 

 elemento di una forma si fa corrispondere il suo complesso- 

 coniugato, si viene appunto a considerare una particolare anti- 

 projettività, che noi chiamiamo coniugio. Se la forma è reale, 

 cioè coincide con la coniugata, il coniugio è un' antiprojettività 

 involutoria. 



(*) Per brevità chiamo indipendenti più punti dello spazio, oppure di un 

 piano, quando fra essi non ve ne sono 4 coplanari, oppure 3 allineati: ed 

 analogamente per le altre forme e per altri elementi. 



(**) Quindi un'antiproiettività ciclica è necessariamente di grado pari, poiché 

 una sua potenza impari essendo antiproiettiva non può ridursi all'identità. 



(***) V. Klein, Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische For- 

 schungen (Erlangen 1872), § 1. Di questo importante lavoro, non abbastanza noto 

 in Italia, si pubblicherà presto una traduzione negli Annali di matematica. 



(****) Cfr. Klein, loc. cit. § 2. 



