UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 199 



omologhe due rette dei due piani quando tagliano y, y' in 

 due coppie omologhe di punti, alle rette di un fascio del piano 

 di y saranno omologhe nell'altro piano le rette di un fascio , 

 perchè 1' involuzione che quelle determinano fra i punti di y 

 sarà trasformata dall'antiprojettività data in un'involuzione fra i 

 punti di y (n. 2). — Similmente si vedrebbe che un'antipro- 

 jettività data ad arbitrio fra i punti di due cubiche sghembe 

 y, y determina nello spazio un' antico] lineazione che fa corri- 

 spondere le due cubiche precisamente secondo quell'antiprojetti- 

 vità. — Ecc. ecc. 



Così pure per determinare nello spazio un'anticollineazione 

 che faccia corrispondere fra loro due date quadriche y, y si pos- 

 sono assumere ad arbitrio le due antiprojettività che essa deter- 

 mina fra le due schiere di rette di y e risp. le due schiere (in 

 un ordine arbitrario) di y'. Invero allora alle generatrici di y 

 che s'incontrano su un dato piano ~ e quindi si corrispondono 

 in una projettività saranno omologhe su y' nelle due date anti- 

 projettività delle generatrici che pure si corrisponderanno in una 

 projettività e quindi s'incontreranno su un piano ri; e se n de- 

 scrive un fascio , evidentemente anche ri descriverà un fascio ; 

 donde si conchiude che la corrispondenza stabilita è un'anti- 

 collineazione. 



Se in queste proposizioni si suppone che le due coniche, o 

 le due cubiche sghembe, o le due quadriche, siano sovrapposte 

 in una, si ha il modo di determinare tutte le anticollineazioni 

 che trasformano in sé stessa una data conica o una (lata 

 cubica sghemba , o una data quadrica , cioè che sono permu- 

 tabili alla polarità che da questo ente vien determinata. Fa- 

 cendo il prodotto di questa polarità e di quelle anticollineazioni 

 si avrebbero poi le antireciprocità che trasformano in sé stessa 

 una data conica, o cubica sghemba, o quadrica. Come si vede 

 tutte le determinazioni di tali antiprojettività si riducono a quelle 

 di antiprojettività su forme semplici. Le anticollineazioni e le 

 antireciprocità che mutano in se stesse una quadrica sarebbero 

 poi (come le collineazioni e le reciprocità) da distinguersi in 

 due specie, secondo che mutano ciascuna schiera di generatrici in 

 se stesse ovvero scambiano fra loro le due schiere. 



8. Occupiamoci ora brevemente, escludendo però le anti- 

 projettività involutorie, alle quali saranno invece dedicati i cap.' 



