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seguenti , degli elementi uniti delle antiprojettività tra forme 

 sovrapposte , ed in pari tempo delle coppie di elementi invo- 

 latori, chiamando involutorio rispetto ad una corrispondenza ogni 

 elemento a cui in questa corrisponda in doppio modo (cioè ri- 

 spetto alla corrispondenza stessa e rispetto alla sua inversa) uno 

 stesso altro elemento (che sarà pure involutorio). È chiaro ci. e ogni 

 elemento il quale sia unito oppure involutorio per un'antipro- 

 jettività sarà unito per la projettività (collineazione) quadrato di 

 questa, e viceversa ogni elemento unito della projettività qua- 

 drato sarà unito oppure involutorio per Tantiprojettività. Da ciò 

 e dalle cose note sul numero e sulla posizione degli elementi 

 uniti delle projettività nelle varie forme si traggono subito le se- 

 guenti proposizioni. In esse si osserverà una distinzione di casi 

 generali che non ha l'analoga nelle projettività : che ciascuno di 

 quei casi sia possibile risulta dai modi che già conosciamo per 

 determinare le corrispondenze antiprojettive ; che poi non conduca 

 necessariamente a corrispondenze involutorie (come si potrebbe per 

 alcuni casi sospettare, ricordando certe proposizioni note sulle 

 involuzioni semplici e sulle polarità nel piano e nello spazio) 

 risulterà da cose che si vedranno poi su queste. 



Un'antiprojettività su una forma semplice può in generale 

 presentare due casi: avere cioè due elementi uniti, e nessun ele- 

 mento involutorio; oppure non avere alcun elemento unito ed 

 averne due involutori (*) (**). 



(*) Come caso intermedio, particolare, si avrebbe quello in cui vi è un 

 solo elemento unito, corrispondentemente al caso in cui la proiettività qua- 

 drato ha un solo elemento unito. Ma qui, ed anche in seguito, mi limiterò 

 quasi sempre ai casi generali. 



(**) Alla considerazione dei due elementi uniti nel 1° caso, e dei due ele- 

 menti involutori nel 2° si possono collegare notevoli proprietà metriche delle 

 antiproiettività. 



Come per le corrispondenze proiettive la proprietà metrica fondamentale 

 consiste nell'uguaglianza dei birapporti omologhi, così per quelle antiproiet- 

 tive essa consiste nel fatto (n. 1) che i birapporti omologhi sono coniugati. 

 Da questa si derivano varie altre relazioni particolari con procedimenti si- 

 mili in parte a quelli usati nell'ordinaria geometria. 



Cosi se M, N sono due punti uniti di due punteggiate antiproiettive so- 

 vrapposte ed A, A' e B, B' due coppie qualunque di punti omologhi, sarà 

 (MNAB) coniugato a (MNA'B'), cioè questi due birapporti avranno moduli 

 uguali ed argomenti opposti (a meno di un multiplo di 271). Sviluppandoli 

 si deduce 



. / M\ MA'\ . /.MB MB' 



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